Determine o vetor binormal \mathbf{B}(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
\mathbf{B}(t)=\widehat{\mathbf{T}}(t) \times \mathbf{N}(t)
(a) \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}-2 t^{2} \mathbf{j}+3 t^{3} \mathbf{k}
(b) \mathbf{r}(t)=a \sin (\omega t) \mathbf{i}+a \cos (\omega t) \mathbf{k}
(c) \mathbf{r}(t)=\cos t \sin t \mathbf{i}+\sin ^{2} t \mathbf{j}+\cos t \mathbf{k}
(d) \mathbf{r}(t)=a \cos t \mathbf{i}+b \sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se determinar o vetor binormal \mathbf{B}(t) para cada uma das quatro curvas, usando a definição
\mathbf{B}(t)=\widehat{\mathbf{T}}(t)\times\mathbf{N}(t).
  • As curvas fornecidas são:
    • (a) \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-2t^{2}\,\mathbf{j}+3t^{3}\,\mathbf{k}.
    • (b) \mathbf{r}(t)=a\sin(\omega t)\,\mathbf{i}+a\cos(\omega t)\,\mathbf{k}.
    • (c) \mathbf{r}(t)=\cos t\sin t\,\mathbf{i}+\sin^{2}t\,\mathbf{j}+\cos t\,\mathbf{k}.
    • (d) \mathbf{r}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}+b\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}.

Passo 2

Rápida observação metodológica (útil e aceito na prova): embora a definição seja \mathbf{B}=\widehat{\mathbf{T}}\times\mathbf{N}, há uma forma prática e muito usada para calcular \mathbf{B} diretamente a partir das derivadas da curva:
\mathbf{B}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)}{\big\lVert \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\big\rVert}.
Explicando por que isso funciona, de forma didática e curta:
  • \mathbf{T}=\dfrac{\mathbf{r}'}{\lVert\mathbf{r}'\rVert} é o versor tangente.
  • A derivada \mathbf{T}' é paralela à direção do vetor normal principal \mathbf{N}; normalizando \mathbf{T}' obtém-se \mathbf{N}.
  • O produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' é paralelo a \mathbf{T}\times\mathbf{N} e tem magnitude proporcional a \lVert \mathbf{r}'\rVert^{3}\lVert\mathbf{N}\rVert (detalhes omitidos para não alongar demais), então normalizando obtemos exatamente \mathbf{B}.
    Usaremos essa forma porque evita etapas longas de calcular \mathbf{T} e depois \mathbf{N} separadamente, sem perder generalidade.
Agora vou aplicar esse procedimento passo a passo para cada curva: calcular \mathbf{r}', \mathbf{r}'', o produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' e normalizá-lo.

Passo 3

Parte (a): dados
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-2t^{2}\,\mathbf{j}+3t^{3}\,\mathbf{k}.
Calcular derivadas primeiras e segundas:
\mathbf{r}'(t)=1\,\mathbf{i}-4t\,\mathbf{j}+9t^{2}\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{r}''(t)=0\,\mathbf{i}-4\,\mathbf{j}+18t\,\mathbf{k}.

Passo 4

Parte (a): produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''. Usando determinante
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -4t & 9t^{2} \\\\ 0 & -4 & 18t \end{vmatrix}.
Calculando os cofatores:
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=(-36t^{2})\,\mathbf{i}+(-18t)\,\mathbf{j}+(-4)\,\mathbf{k}.
Em forma vetorial:
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=(-36t^{2},\,-18t,\,-4).

Passo 5

Parte (a): magnitude e binormal. A norma é
\big\lVert \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\rVert =\sqrt{( -36t^{2})^{2}+(-18t)^{2}+(-4)^{2}} =\sqrt{1296t^{4}+324t^{2}+16}.
Portanto o vetor binormal é
\mathbf{B}(t)=\frac{(-36t^{2},\,-18t,\,-4)}{\sqrt{1296t^{4}+324t^{2}+16}}.

Passo 6

Parte (b): dados
\mathbf{r}(t)=a\sin(\omega t)\,\mathbf{i}+a\cos(\omega t)\,\mathbf{k}.
Calcular derivadas:
\mathbf{r}'(t)=a\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{i}-a\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{k},
\mathbf{r}''(t)=-a\omega^{2}\sin(\omega t)\,\mathbf{i}-a\omega^{2}\cos(\omega t)\,\mathbf{k}.

Passo 7

Parte (b): produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''. Note que a componente \mathbf{j} (eixo y) será a única possivelmente não nula porque ambos vetores têm apenas \mathbf{i} e \mathbf{k}. Calculando:
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\big(0,\;a^{2}\omega^{3},\;0\big).
A magnitude é \big\lVert \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\rVert=|a^{2}\omega^{3}|. Logo o binormal normalizado é
\mathbf{B}(t)=\frac{(0,\;a^{2}\omega^{3},\;0)}{|a^{2}\omega^{3}|}=(0,\;\operatorname{sgn}(\omega),\;0),
isto é, para \omega>0 temos \mathbf{B}(t)=\mathbf{j}, e para \omega<0 temos \mathbf{B}(t)=-\mathbf{j}. (Se \omega=0 a curva degenera.)

Passo 8

Parte (c): dados
\mathbf{r}(t)=\cos t\sin t\,\mathbf{i}+\sin^{2}t\,\mathbf{j}+\cos t\,\mathbf{k}.
Calcular derivadas (é útil usar identidades como \sin 2t=2\sin t\cos t, mas vou manter direto):
\mathbf{r}'(t)=\cos 2t\,\mathbf{i}+\sin 2t\,\mathbf{j}-\sin t\,\mathbf{k},
\mathbf{r}''(t)=-2\sin 2t\,\mathbf{i}+2\cos 2t\,\mathbf{j}-\cos t\,\mathbf{k}.

Passo 9

Parte (c): produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''. Calculando o determinante dá
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\big(-2\sin^{3}t,\;\cos t\,(1+2\sin^{2}t),\;2\big).

Passo 10

Parte (c): magnitude e simplificação. Calculei a norma e ela simplifica de forma agradável:
\big\lVert \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\rVert =\sqrt{4\sin^{6}t+\cos^{2}t(1+2\sin^{2}t)^{2}+4} =\sqrt{5+3\sin^{2}t}.
Portanto o binormal é
\mathbf{B}(t)=\frac{\big(-2\sin^{3}t,\;\cos t\,(1+2\sin^{2}t),\;2\big)}{\sqrt{5+3\sin^{2}t}}.

Passo 11

Parte (d): dados
\mathbf{r}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}+b\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}.
Derivadas:
\mathbf{r}'(t)=-a\sin t\,\mathbf{i}+b\cos t\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k},
\mathbf{r}''(t)=-a\cos t\,\mathbf{i}-b\sin t\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Passo 12

Parte (d): produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''. Calculando o determinante obtemos
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\big(b\sin t,\;-a\cos t,\;ab\big).

Passo 13

Parte (d): magnitude e binormal. A norma é
\big\lVert \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\rVert =\sqrt{b^{2}\sin^{2}t+a^{2}\cos^{2}t+a^{2}b^{2}}.
Assim o binormal é
\mathbf{B}(t)=\frac{\big(b\sin t,\;-a\cos t,\;ab\big)}{\sqrt{b^{2}\sin^{2}t+a^{2}\cos^{2}t+a^{2}b^{2}}}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}(t)=\frac{(-36t^{2},\,-18t,\,-4)}{\sqrt{1296t^{4}+324t^{2}+16}}
(b) \displaystyle \mathbf{B}(t)=(0,\;\operatorname{sgn}(\omega),\;0) \quad (para \omega>0 \mathbf{B}=\mathbf{j})
(c) \displaystyle \mathbf{B}(t)=\frac{\big(-2\sin^{3}t,\;\cos t\,(1+2\sin^{2}t),\;2\big)}{\sqrt{5+3\sin^{2}t}}
(d) \displaystyle \mathbf{B}(t)=\frac{\big(b\sin t,\;-a\cos t,\;ab\big)}{\sqrt{b^{2}\sin^{2}t+a^{2}\cos^{2}t+a^{2}b^{2}}}

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