Utilize a fórmula alternativa abaixo para determinar o vetor normal unitário principal \mathbf{N}(t) para cada função vetorial \mathbf{r}(t) indicada:
\mathbf{N}(t)=\frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{a}-(\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{v}}{\|(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{a}-(\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}) \mathbf{v}\|}
onde \mathbf{v}=\mathbf{r}^{\prime}(t) é a velocidade e \mathbf{a}=\mathbf{v}^{\prime}(t)=\mathbf{r}^{\prime \prime}(t) é a aceleração.
(a) \mathbf{r}(t)=3 t \mathbf{i}+2 t^{2} \mathbf{j}
(b) \mathbf{r}(t)=3 \cos (2 t) \mathbf{i}+3 \sin (2 t) \mathbf{j}
(c) \mathbf{r}(t)=2 t \mathbf{i}+4 t \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}
(d) \mathbf{r}(t)=5 \cos t \mathbf{i}+5 \sin t \mathbf{j}+3 t \mathbf{k}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Foi dada a fórmula
\mathbf{N}(t)=\frac{(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\mathbf{a}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})\mathbf{v}}{\|(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\mathbf{a}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})\mathbf{v}\|}
onde \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t) e \mathbf{a}=\mathbf{r}''(t).
  • Pede-se calcular \mathbf{N}(t) para cada uma das curvas:
    (a) \mathbf{r}(t)=3t\,\mathbf{i}+2t^{2}\,\mathbf{j}.
    (b) \mathbf{r}(t)=3\cos(2t)\,\mathbf{i}+3\sin(2t)\,\mathbf{j}.
    (c) \mathbf{r}(t)=2t\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}.
    (d) \mathbf{r}(t)=5\cos t\,\mathbf{i}+5\sin t\,\mathbf{j}+3t\,\mathbf{k}.

Passo 2

Entendendo a fórmula e o plano de ação (como vamos proceder passo a passo).
  • A fórmula usa somente velocidade e aceleração. Então para cada item faremos, nesta ordem:
    1. Calcular \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t).
    2. Calcular \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t).
    3. Calcular os escalares \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} e \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}.
    4. Formar o vetor \mathbf{W}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\mathbf{a}-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})\mathbf{v}.
    5. Calcular \|\mathbf{W}\|=\sqrt{\mathbf{W}\cdot\mathbf{W}}.
    6. Finalmente \mathbf{N}(t)=\mathbf{W}/\|\mathbf{W}\|.
  • Observação prática: se \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0 e \mathbf{v}\cdot\mathbf{v} é constante, então \mathbf{W}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\mathbf{a} e a normal fica paralela a \mathbf{a} (aparece em círculos e helicoides). Vou aplicar esse protocolo passo a passo em cada caso e simplificar sempre que possível, mostrando as contas.

Passo 3

Cálculo detalhado para o item (a): \mathbf{r}(t)=3t\,\mathbf{i}+2t^{2}\,\mathbf{j}.
  • Derivadas: \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=3\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}, \qquad \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=0\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}.
  • Produtos escalares: \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=3^{2}+(4t)^{2}=9+16t^{2}, \qquad \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=3\cdot 0+(4t)\cdot 4=16t.
  • Vetor \mathbf{W}: \mathbf{W}=(9+16t^{2})\,(0,4)-(16t)\,(3,4t).Calculando componente a componente: \mathbf{W}=\bigl(0,4(9+16t^{2})\bigr)-(48t,64t^{2})=(-48t,36).
  • Norma de \mathbf{W}: \|\mathbf{W}\|=\sqrt{(-48t)^{2}+36^{2}}=\sqrt{2304t^{2}+1296}.Fatorando: \|\mathbf{W}\|=12\sqrt{16t^{2}+9}.
  • Unidade normal: \mathbf{N}(t)=\frac{(-48t,36)}{12\sqrt{16t^{2}+9}} =\frac{(-4t,3)}{\sqrt{16t^{2}+9}}.Em notação vetorial: \mathbf{N}(t)=\frac{-4t\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}}{\sqrt{16t^{2}+9}}.

Passo 4

Cálculo detalhado para o item (b): \mathbf{r}(t)=3\cos(2t)\,\mathbf{i}+3\sin(2t)\,\mathbf{j}.
  • Derivadas: \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-6\sin(2t))\,\mathbf{i}+(6\cos(2t))\,\mathbf{j},
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=(-12\cos(2t))\,\mathbf{i}+(-12\sin(2t))\,\mathbf{j}.
  • Produtos escalares: \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=(-6\sin(2t))^{2}+(6\cos(2t))^{2}=36(\sin^{2}+\cos^{2})=36,
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=(-6\sin)(-12\cos)+(6\cos)(-12\sin)=72\sin\cos-72\sin\cos=0.
(Aqui usei \sin(2t),\cos(2t) abreviando os parênteses para legibilidade.)
  • Vetor \mathbf{W}: \mathbf{W}=36\,\mathbf{a}-0\cdot\mathbf{v}=36\,\mathbf{a}=36(-12\cos(2t),-12\sin(2t)).Assim \mathbf{W}=(-432\cos(2t),-432\sin(2t)).
  • Norma de \mathbf{W}: \|\mathbf{W}\|=432\sqrt{\cos^{2}(2t)+\sin^{2}(2t)}=432.
  • Unidade normal: \mathbf{N}(t)=\frac{(-432\cos(2t),-432\sin(2t))}{432}=(-\cos(2t),-\sin(2t)).Em notação vetorial: \mathbf{N}(t)=-\cos(2t)\,\mathbf{i}-\sin(2t)\,\mathbf{j}.

Passo 5

Cálculo detalhado para o item (c): \mathbf{r}(t)=2t\,\mathbf{i}+4t\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}.
  • Derivadas: \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=2\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}.
  • Produtos escalares: \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=2^{2}+4^{2}+(2t)^{2}=4+16+4t^{2}=20+4t^{2},
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=2\cdot 0+4\cdot 0+(2t)\cdot 2=4t.
  • Vetor \mathbf{W}: \mathbf{W}=(20+4t^{2})(0,0,2)-(4t)(2,4,2t).Calculando: \mathbf{W}=(0,0,40+8t^{2})-(8t,16t,8t^{2})=(-8t,-16t,40).
  • Norma de \mathbf{W}: \|\mathbf{W}\|=\sqrt{(-8t)^{2}+(-16t)^{2}+40^{2}}=\sqrt{64t^{2}+256t^{2}+1600}=\sqrt{320t^{2}+1600}.Fatorando: \|\mathbf{W}\|=\sqrt{320(t^{2}+5)}=8\sqrt{5}\,\sqrt{t^{2}+5}.
  • Unidade normal: \mathbf{N}(t)=\frac{(-8t,-16t,40)}{8\sqrt{5}\sqrt{t^{2}+5}}=\frac{(-t,-2t,5)}{\sqrt{5}\,\sqrt{t^{2}+5}}.Podemos também escrever o denominador como \sqrt{5(t^{2}+5)}, ficando \mathbf{N}(t)=\frac{-t\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k}}{\sqrt{5(t^{2}+5)}}.

Passo 6

Cálculo detalhado para o item (d): \mathbf{r}(t)=5\cos t\,\mathbf{i}+5\sin t\,\mathbf{j}+3t\,\mathbf{k}.
  • Derivadas: \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-5\sin t)\,\mathbf{i}+(5\cos t)\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k},
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=(-5\cos t)\,\mathbf{i}+(-5\sin t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.
  • Produtos escalares: \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=(-5\sin t)^{2}+(5\cos t)^{2}+3^{2}=25(\sin^{2}+\cos^{2})+9=25+9=34,
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=(-5\sin t)(-5\cos t)+(5\cos t)(-5\sin t)+3\cdot 0=25\sin t\cos t-25\sin t\cos t=0.
  • Vetor \mathbf{W}: \mathbf{W}=34\,\mathbf{a}-0\cdot\mathbf{v}=34(-5\cos t,-5\sin t,0)=(-170\cos t,-170\sin t,0).
  • Norma de \mathbf{W}: \|\mathbf{W}\|=170\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=170.
  • Unidade normal: \mathbf{N}(t)=\frac{(-170\cos t,-170\sin t,0)}{170}=(-\cos t,-\sin t,0).Em notação vetorial: \mathbf{N}(t)=-\cos t\,\mathbf{i}-\sin t\,\mathbf{j}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{-4t\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}}{\sqrt{16t^{2}+9}}
(b) \displaystyle \mathbf{N}(t)=-\cos(2t)\,\mathbf{i}-\sin(2t)\,\mathbf{j}
(c) \displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{-t\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k}}{\sqrt{5(t^{2}+5)}}
(d) \displaystyle \mathbf{N}(t)=-\cos t\,\mathbf{i}-\sin t\,\mathbf{j}

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