Utilize a fórmula alternativa abaixo para determinar o vetor normal unitário principal
para cada função vetorial
indicada:
onde
é a velocidade e
é a aceleração.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados.
- Foi dada a fórmula
onde
e
.
- Pede-se calcular
para cada uma das curvas:
(a).
(b).
(c).
(d).
Passo 2
Entendendo a fórmula e o plano de ação (como vamos proceder passo a passo).
- A fórmula usa somente velocidade e aceleração. Então para cada item faremos, nesta ordem:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular os escalares
e . - Formar o vetor
. - Calcular
. - Finalmente
.
- Calcular
- Observação prática: se
e é constante, então e a normal fica paralela a (aparece em círculos e helicoides). Vou aplicar esse protocolo passo a passo em cada caso e simplificar sempre que possível, mostrando as contas.
Passo 3
Cálculo detalhado para o item (a):
.
- Derivadas:
- Produtos escalares:
- Vetor
: Calculando componente a componente: - Norma de
: Fatorando: - Unidade normal:
Em notação vetorial:
Passo 4
Cálculo detalhado para o item (b):
.
- Derivadas:
- Produtos escalares:
(Aqui usei
abreviando os parênteses para legibilidade.)
- Vetor
: Assim - Norma de
: - Unidade normal:
Em notação vetorial:
Passo 5
Cálculo detalhado para o item (c):
.
- Derivadas:
- Produtos escalares:
- Vetor
: Calculando: - Norma de
: Fatorando: - Unidade normal:
Podemos também escrever o denominador como , ficando
Passo 6
Cálculo detalhado para o item (d):
.
- Derivadas:
- Produtos escalares:
- Vetor
: - Norma de
: - Unidade normal:
Em notação vetorial:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)