Determine o vetor de coordenadas [x]B de x em relação a base B=b1, b2, onde
b1=[c 1 -4 ], b2=[c 2 -3 ], x=[c 4 -1 ]

Passo 1

O enunciado dá a base
B=,vec b1,vec b2
com
vec b1=1-4, vec b2=2-3
e o vetor
vec x=4-1
Queremos encontrar os escalares a,b tais que
vec x = a,vec b1 + b,vec b2,
isto é exatamente o vetor de coordenadas [vec x]B=(a,b)^T.

Passo 2

Verificamos que vec b1 e vec b2 são linearmente independentes calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
det1 & 2-4 & -3 =1cdot(-3)-2cdot(-4)=-3+8=5neq0
Logo B é de fato uma base de R^2.

Passo 3

Escrevemos o sistema equivalente à combinação linear:
a1-4 +b2-3 =4-1 Longrightarrow a+2b=4, -4a-3b=-1

Passo 4

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem a=4-2b. Substituindo na segunda:
-4(4-2b)-3b=-1 Longrightarrow -16+8b-3b=-1 Longrightarrow 5b=15 Longrightarrow b=3,
e então
a=4-2cdot3=4-6=-2

Resposta

[vec x]B =-23

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