Sejam A=[cc-6 & 12 -3 & 6] e w=[l2 1]. Determine se w pertence a Col A e Nul A.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A e o vetor w
A = -6 & 12-3 & 6
w = 21
e pede para verificar se w pertence ao espaço das colunas de A (Col A) e ao núcleo de A (Nul A). Para isso usamos a definição de Col A como o conjunto de vetores da forma Av e a definição de Nul A como o conjunto de vetores x tais que Ax=0.

Passo 2

Para testar se devemos verificar se existe tal que
isto é,
Esse sistema equivale a

Passo 3

Observe que a segunda equação é exatamente metade da primeira, o que mostra consistência e infinitas soluções. Da primeira equação temos
-6x + 12y = 2 Longrightarrow -3x + 6y = 1
Isolando x em função de y obtemos
-3x = 1 - 6y Longrightarrow x = 2y - tfrac13
Logo existe v que satisfaz Av=w, portanto winCol(A).

Passo 4

Para testar se winNul(A) basta calcular Aw e verificar se resulta no vetor nulo:
Aw = -6 & 12-3 & 6 21 = -12 + 12-6 + 6 = 00
Como Aw=0, segue que winNul(A).

Resposta

win Col(A): Sim
win Nul(A): Sim

Exercícios relacionados