Encontre uma base para o espaço gerado pelos vetores
[c 1 0 -3 2 ],[c 0 1 2 -3 ],[c -3 -4 1 6 ],[c 1 -3 -8 7 ],[c 2 1 -6 9 ]

Passo 1

O enunciado dá cinco vetores em R^4 e pede uma base do espaço que eles geram. Para isso, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores, usar eliminação de Gauss para descobrir o posto e identificar as colunas-pivô. O conteúdo aqui é independência linear e eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz
A= 1 & 0 & -3 & 1 & 2 0 & 1 & -4 & -3 & 1 -3 & 2 & 1 & -8 & -6 2 & -3 & 6 & 7 & 9 ,
cujos vetores coluna são
v1=10-32,
v2=012-3,
v3=-3-416,
v4=1-3-87,
v5=21-69

Passo 3

Aplicamos as seguintes operações de linha:
  1. R3 R3+3R1, R4 R4-2R1.
    A matriz vira
    1 & 0 & -3 & 1 & 2 0 & 1 & -4 & -3 & 1 0 & 2 & -8 & -5 & 0 0 & -3 & 12 & 5 & 5
  2. R3 R3-2R2, R4 R4+3R2.
    A matriz fica
    1 & 0 & -3 & 1 & 2 0 & 1 & -4 & -3 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & -4 & 8
  3. R4 R4+4R3 torna a última linha nula, mostrando que o posto de A é 3.

Passo 4

Os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 4. Portanto, os vetores originais correspondentes v1, v2 e v4 são uma base do espaço gerado.

Resposta

, 10-32,; 012-3,; 1-3-87

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