Encontre as direções em que
:
a) Cresce mais rapidamente no ponto
.
b) Decresce mais rapidamente no ponto ( 1,1 ).
a) Cresce mais rapidamente no ponto
b) Decresce mais rapidamente no ponto ( 1,1 ).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas no ponto
:\n
a) A direção em que cresce mais rapidamente em
.\n
b) A direção em que decresce mais rapidamente em
.\n
Informações relevantes fornecidas: a expressão de e o ponto onde devemos analisar,
. Não há outras condições.
a) A direção em que
b) A direção em que
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
Passo 2
Conceitos que precisamos entender (explicado passo a passo, sem assumir que você já sabe):\n
Definição de derivada direcional e gradiente.\n
A derivada direcional de no ponto
na direção do vetor unitário
é dada por
Definição de derivada direcional e gradiente.\n
A derivada direcional de
Aqui:\n
-
é o vetor gradiente de em , composto pelas derivadas parciais: .\n -
é um vetor unitário (tem comprimento ), porque a derivada direcional é definida normalmente para direções unitárias.\n - O símbolo
é o produto escalar entre vetores.\n
Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento de; o tamanho do gradiente diz quão rápido aumenta nessa direção.\n
Por que isso é verdade (curtinho e essencial): usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz,
Como
, obtemos
O máximo possível para
(isto é, o crescimento mais rápido) ocorre quando
está na mesma direção do gradiente (ângulo zero), e então
. O mínimo (decrescimento mais rápido) ocorre quando
aponta na direção oposta ao gradiente, dando
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais da função (passo obrigatório para achar o gradiente):\n
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a
Derivada parcial em relação a
:
Logo o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto dado
:\n
Calcular o comprimento (norma) deste gradiente:
Passo 5
Encontrar a direção de crescimento mais rápido e de decrescimento mais rápido:\n
- Direção de crescimento mais rápido: é a direção do gradiente
. Normalmente respondemos com o vetor unitário nessa direção, que é
Nesse sentido, a derivada direcional máxima vale
.\n
- Direção de decrescimento mais rápido: é a direção oposta ao gradiente, dada pelo vetor unitário
Nesse sentido, a derivada direcional mínima vale
.\n
Observação prática para a prova: você pode responder “direção do vetor ” para o crescimento e “direção de
” para o decrescimento; se pedirem vetor unitário, use os que acabamos de dar.
Observação prática para a prova: você pode responder “direção do vetor
Passo 6
Checagem rápida (pequeno exemplo para fixar):\n
Se pegarmos a direção (eixo
), a derivada direcional é
Se pegarmos a direção
que é menor que
. Se pegarmos
,
confirmando que essa é realmente a direção de aumento mais rápido.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)