Encontre as direções em que f(x, y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} :
a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1).
b) Decresce mais rapidamente no ponto ( 1,1 ).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} e pede duas coisas no ponto (1,1):\n
a) A direção em que f cresce mais rapidamente em (1,1).\n
b) A direção em que f decresce mais rapidamente em (1,1).\n
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f(x,y) e o ponto onde devemos analisar, (1,1). Não há outras condições.

Passo 2

Conceitos que precisamos entender (explicado passo a passo, sem assumir que você já sabe):\n
Definição de derivada direcional e gradiente.\n
A derivada direcional de f no ponto \mathbf{a}=(a_1,a_2) na direção do vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u}.
Aqui:\n
  • \nabla f(\mathbf{a}) é o vetor gradiente de f em \mathbf{a}, composto pelas derivadas parciais: \nabla f=(f_x,f_y).\n
  • \mathbf{u} é um vetor unitário (tem comprimento 1), porque a derivada direcional é definida normalmente para direções unitárias.\n
  • O símbolo "\cdot" é o produto escalar entre vetores.\n
    Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento de f; o tamanho do gradiente diz quão rápido f aumenta nessa direção.\n
    Por que isso é verdade (curtinho e essencial): usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz,
|\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u}|\le \|\nabla f(\mathbf{a})\|\,\|\mathbf{u}\|.
Como \|\mathbf{u}\|=1, obtemos
|\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u}|\le \|\nabla f(\mathbf{a})\|.
O máximo possível para D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a}) (isto é, o crescimento mais rápido) ocorre quando \mathbf{u} está na mesma direção do gradiente (ângulo zero), e então D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\|\nabla f(\mathbf{a})\|. O mínimo (decrescimento mais rápido) ocorre quando \mathbf{u} aponta na direção oposta ao gradiente, dando D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=-\|\nabla f(\mathbf{a})\|.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da função (passo obrigatório para achar o gradiente):\n
Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}\right)=x.
Derivada parcial em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}\right)=y.
Logo o gradiente é
\nabla f(x,y)=(x,y).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto dado (1,1):\n
\nabla f(1,1)=(1,1).
Calcular o comprimento (norma) deste gradiente:
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.

Passo 5

Encontrar a direção de crescimento mais rápido e de decrescimento mais rápido:\n
  • Direção de crescimento mais rápido: é a direção do gradiente \nabla f(1,1)=(1,1). Normalmente respondemos com o vetor unitário nessa direção, que é
\mathbf{u}_{\text{max}}=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Nesse sentido, a derivada direcional máxima vale D_{\mathbf{u}_{\text{max}}}f(1,1)=\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2}.\n
  • Direção de decrescimento mais rápido: é a direção oposta ao gradiente, dada pelo vetor unitário
\mathbf{u}_{\text{min}}=-\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Nesse sentido, a derivada direcional mínima vale D_{\mathbf{u}_{\text{min}}}f(1,1)=-\|\nabla f(1,1)\|=-\sqrt{2}.\n
Observação prática para a prova: você pode responder “direção do vetor (1,1)” para o crescimento e “direção de (-1,-1)” para o decrescimento; se pedirem vetor unitário, use os que acabamos de dar.

Passo 6

Checagem rápida (pequeno exemplo para fixar):\n
Se pegarmos a direção \mathbf{e}_x=(1,0) (eixo x), a derivada direcional é
D_{\mathbf{e}_x}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot(1,0)=1,
que é menor que \sqrt{2}. Se pegarmos \mathbf{u}_{\text{max}}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right),
D_{\mathbf{u}_{\text{max}}}f(1,1)= (1,1)\cdot\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2},
confirmando que essa é realmente a direção de aumento mais rápido.

Resposta

(a) \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\n
(b) \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

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