Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor v das funções a seguir:
1.1
f(x, y)=x^4-x^2 y^2, P=(2,1), v=i+3 j

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^4-x^2y^2,
o ponto P=(2,1) e o vetor de direção vec v=(1,3). Precisamos achar o gradiente nabla f e a derivada direcional em P na direção de vec v. Vamos usar que
nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y)
e
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u,
onde vec u é o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x =4x^3-2x,y^2, partial fpartial y =-2x^2y

Passo 3

Avaliando em P=(2,1):
partial fpartial x(2,1) =4cdot2^3-2cdot2cdot1^2=32-4=28,
partial fpartial y(2,1) =-2cdot2^2cdot1=-8
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nabla f(P)=lang<= 28,,-8rang<=

Passo 4

O vetor vec v=(1,3) tem norma
|vec v|=raiz1^2+3^2=raiz10,
portanto o vetor unitário na sua direção é
vec u=1raiz10lang<= 1,,3rang<=

Passo 5

A derivada direcional é
Dvec uf(P) =nabla f(P)cdotvec u =lang<= 28,-8rang<=cdot1raiz10lang<=1,3rang<= =28-24raiz10 =4raiz10

Resposta

nabla f(P)=lang<= 28,-8rang<=
Derivada direcional em P na direção de vec v: 4raiz10.

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