Determine o vetor gradiente da função dada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor gradiente da função
.
Informações dadas: a função depende de duas variáveis e
. A expressão dentro do logaritmo é
. Note que o logaritmo natural exige que o argumento seja positivo, isto é, só faz sentido para pontos
tais que
Informações dadas: a função depende de duas variáveis
Não vou resolver nada ainda — apenas identifiquei o que é pedido e as informações disponíveis.
Passo 2
O que é o vetor gradiente? O vetor gradiente de
é
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
, ou seja, derivar
tratando
como constante; e
é a derivada parcial em relação a
, tratando
como constante. Nosso objetivo é calcular essas duas derivadas parciais.
Passo 3
Uma boa estratégia é usar a regra da cadeia. Defina
de modo que
A regra da cadeia para funções de várias variáveis e logaritmo diz que, para cada variável
,
Explicando: a derivada de
em relação a
é
; por consequência, para derivar em relação a
(ou
) multiplicamos por
(ou
).
Passo 4
Calcule
. Como
e ao derivar em relação a
tratamos
como constante, temos:
- a derivada de
em relação a é (pois é vezes ); - a derivada de
em relação a é (pois não depende de ).
Logo
Aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar fatorando
no denominador (válido sempre que
; observe que
não pertence ao domínio porque então
):
Portanto, sob as condições do domínio, uma forma simples é
Passo 5
Agora calcule
. Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
- a derivada de
em relação a é ; - a derivada de
em relação a é .
Logo
Aplicando a regra da cadeia:
Podemos também simplificar factorando
no denominador:
Uma manipulação útil para ver estrutura é escrever
, então
Portanto, outra forma equivalente é
novamente válida quando o ponto pertence ao domínio
(então
e
conforme necessário).
Passo 6
Juntando as duas componentes, o vetor gradiente é
Uma forma simplificada, usando as manipulações acima, é
válida para pontos
do domínio
.
Exemplo rápido para fixar: em temos
.
Exemplo rápido para fixar: em