Determine o vetor gradiente da função dada.
f(x, y)=\ln \left(x y+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor gradiente da função f(x,y)=\ln\bigl(xy+y^{2}\bigr).
Informações dadas: a função depende de duas variáveis x e y. A expressão dentro do logaritmo é xy+y^{2}. Note que o logaritmo natural exige que o argumento seja positivo, isto é, só faz sentido para pontos (x,y) tais que
xy+y^{2}>0.
Não vou resolver nada ainda — apenas identifiquei o que é pedido e as informações disponíveis.

Passo 2

O que é o vetor gradiente? O vetor gradiente de f é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, derivar f tratando y como constante; e \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y, tratando x como constante. Nosso objetivo é calcular essas duas derivadas parciais.

Passo 3

Uma boa estratégia é usar a regra da cadeia. Defina
u(x,y)=xy+y^{2},
de modo que
f(x,y)=\ln\bigl(u(x,y)\bigr).
A regra da cadeia para funções de várias variáveis e logaritmo diz que, para cada variável t\in\{x,y\},
\frac{\partial}{\partial t}\ln\bigl(u(x,y)\bigr)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial t}(x,y).
Explicando: a derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u; por consequência, para derivar em relação a x (ou y) multiplicamos por \partial u/\partial x (ou \partial u/\partial y).

Passo 4

Calcule \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=xy+y^{2} e ao derivar em relação a x tratamos y como constante, temos:
  • a derivada de xy em relação a x é y (pois xy é y vezes x);
  • a derivada de y^{2} em relação a x é 0 (pois y^{2} não depende de x).
    Logo
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=y.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot y=\frac{y}{xy+y^{2}}.
Podemos simplificar fatorando y no denominador (válido sempre que y\neq0; observe que y=0 não pertence ao domínio porque então xy+y^{2}=0):
\frac{y}{xy+y^{2} }=\frac{y}{y(x+y)}=\frac{1}{x+y}.
Portanto, sob as condições do domínio, uma forma simples é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{x+y}.

Passo 5

Agora calcule \dfrac{\partial u}{\partial y}. Derivando u(x,y)=xy+y^{2} em relação a y (tratando x como constante):
  • a derivada de xy em relação a y é x;
  • a derivada de y^{2} em relação a y é 2y.
    Logo
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=x+2y.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot (x+2y)=\frac{x+2y}{xy+y^{2}}.
Podemos também simplificar factorando y no denominador:
\frac{x+2y}{xy+y^{2}}=\frac{x+2y}{y(x+y)}.
Uma manipulação útil para ver estrutura é escrever x+2y=(x+y)+y, então
\frac{x+2y}{y(x+y)}=\frac{x+y}{y(x+y)}+\frac{y}{y(x+y)}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x+y}.
Portanto, outra forma equivalente é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{y}+\frac{1}{x+y},
novamente válida quando o ponto pertence ao domínio xy+y^{2}>0 (então y\neq0 e x+y\neq0 conforme necessário).

Passo 6

Juntando as duas componentes, o vetor gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=\left(\frac{y}{xy+y^{2}},\;\frac{x+2y}{xy+y^{2}}\right).
Uma forma simplificada, usando as manipulações acima, é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{1}{x+y},\;\frac{1}{y}+\frac{1}{x+y}\right),
válida para pontos (x,y) do domínio \{(x,y)\mid xy+y^{2}>0\}.
Exemplo rápido para fixar: em (x,y)=(1,1) temos \nabla f(1,1)=(1/2,\,1+1/2)=(1/2,\,3/2).

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{1}{x+y},\;\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x+y}\right)

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