Determine o vetor gradiente da função dada. f(x, y, z)=4 z^{3}-3 x^{2} z+3 y^{2}-z
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o vetor gradiente da função dada.”
A função fornecida é f(x,y,z)=4 z^{3}-3 x^{2} z+3 y^{2}-z.
Informações relevantes: a função tem três variáveis x, y e z; precisamos encontrar o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada uma dessas variáveis.
Passo 2
O que é o vetor gradiente e como vamos calcular?
O vetor gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em cada variável. Em notação:
Derivada parcial significa: derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes. Vou calcular cada uma cuidadosamente.]
Passo 3
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Observe os termos de f:
f(x,y,z)=4 z^{3}-3 x^{2} z+3 y^{2}-z.
Ao derivar em relação a x, tratamos y e z como constantes. Termos que não dependem de x têm derivada zero: 4 z^{3}, 3 y^{2} e -z desaparecem. Resta o termo -3 x^{2} z. Como z é constante aqui, podemos vê-lo como constante multiplicativa:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3 x^{2} z\bigr) = -3 z \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
Usando a regra do poder para \frac{d}{dx}(x^{2})=2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = -3 z \cdot 2x = -6 x z.
Passo 4
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora derivamos em relação a y, tratando x e z como constantes. Dos termos de f, apenas 3 y^{2} depende de y. Aplicando a regra do poder:
Os demais termos 4 z^{3}, -3 x^{2} z e -z não dependem de y, então têm derivada zero. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = 6y.
Passo 5
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Derivamos em relação a z, mantendo x e y constantes. Agora vários termos dependem de z: 4 z^{3}, -3 x^{2} z e -z. Vamos tratar cada um:
Para 4 z^{3}, use a regra do poder: \frac{d}{dz}(z^{3})=3 z^{2}. Então