Determine o vetor gradiente da função dada.
f(x, y, z)=4 z^{3}-3 x^{2} z+3 y^{2}-z

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o vetor gradiente da função dada.”
A função fornecida é f(x,y,z)=4 z^{3}-3 x^{2} z+3 y^{2}-z.
Informações relevantes: a função tem três variáveis x, y e z; precisamos encontrar o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada uma dessas variáveis.

Passo 2

O que é o vetor gradiente e como vamos calcular?
O vetor gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) \end{pmatrix}.
Derivada parcial significa: derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes. Vou calcular cada uma cuidadosamente.]

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Observe os termos de f:
f(x,y,z)=4 z^{3}-3 x^{2} z+3 y^{2}-z.
Ao derivar em relação a x, tratamos y e z como constantes. Termos que não dependem de x têm derivada zero: 4 z^{3}, 3 y^{2} e -z desaparecem. Resta o termo -3 x^{2} z. Como z é constante aqui, podemos vê-lo como constante multiplicativa:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3 x^{2} z\bigr) = -3 z \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
Usando a regra do poder para \frac{d}{dx}(x^{2})=2x, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = -3 z \cdot 2x = -6 x z.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora derivamos em relação a y, tratando x e z como constantes. Dos termos de f, apenas 3 y^{2} depende de y. Aplicando a regra do poder:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3 y^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}\bigr)=3\cdot 2y=6y.
Os demais termos 4 z^{3}, -3 x^{2} z e -z não dependem de y, então têm derivada zero. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = 6y.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Derivamos em relação a z, mantendo x e y constantes. Agora vários termos dependem de z: 4 z^{3}, -3 x^{2} z e -z. Vamos tratar cada um:
  • Para 4 z^{3}, use a regra do poder: \frac{d}{dz}(z^{3})=3 z^{2}. Então
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(4 z^{3}\bigr)=4\cdot 3 z^{2}=12 z^{2}.
  • Para -3 x^{2} z, aqui x^{2} é constante (pois diferenciamos em z), então
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-3 x^{2} z\bigr) = -3 x^{2}\cdot \frac{d}{dz}(z) = -3 x^{2}.
  • Para -z, \frac{d}{dz}(-z)=-1.
    Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=12 z^{2} - 3 x^{2} - 1.

Passo 6

Juntando as derivadas parciais obtidas nos passos anteriores, o vetor gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} -6 x z\\[6pt] 6 y\\[6pt] 12 z^{2}-3 x^{2}-1 \end{pmatrix}.]

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\begin{pmatrix} -6 x z\\\\ 6 y\\\\ 12 z^{2}-3 x^{2}-1 \end{pmatrix}

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