Determine o vetor gradiente da função f dada por:
$f(x, y)=\sqrt{4}-x{2}-y{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor gradiente da função de duas variáveis f(x,y)=raiz4-x^2-y^2. O conteúdo aqui é diferencial parcial e vetor gradiente, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 2

Primeiro observamos que raiz4=2, então podemos reescrever a função como
f(x,y)=2 - x^2 - y^2

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x. Lembrando que a derivada de x^2 em relação a x é 2x, temos:
partial fpartial x = 0 - 2x - 0 = -2x

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y. De modo análogo, a derivada de y^2 em relação a y é 2y, logo:
partial fpartial y = 0 - 0 - 2y = -2y

Passo 5

Juntando as derivadas parciais, obtemos o vetor gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr) = (-2x, -2y)

Resposta

nabla f(x,y) = (-2x, -2y)

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