Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem das seguintes funções:
r(x, y, z)=(raizy, x^2 y^2 z^2, e^x y z);

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função vetorial
vec r(x,y,z) = l(raizy,,x^2y^2z^2,,e^xyzr).
O conteúdo aqui é diferenciação parcial em várias variáveis, ou seja, derivar cada componente tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para calcular
partialvec rpartial x
derivamos cada componente em relação a x:
r1(x,y,z)=raizy, r2(x,y,z)=x^2y^2z^2, r3(x,y,z)=e^xyz
Como raizy não depende de x,
partial r1partial x=0
Para r2 usamos a regra da potência:
partial r2partial x =2x,y^2,z^2
Para r3 aplicamos a regra da cadeia:
partial r3partial x =y,z,e^xyz
Logo,
partialvec rpartial x =l(0,;2x,y^2,z^2,;y z,e^xyzr)

Passo 3

Para calcular
partialvec rpartial y
tratamos x e z como constantes:
partial r1partial y =12raizy, partial r2partial y =2y,x^2,z^2, partial r3partial y =x,z,e^xyz
Logo,
partialvec rpartial y =l(tfrac12raizy,;2y,x^2,z^2,;x z,e^xyzr)

Passo 4

Para calcular
partialvec rpartial z
tratamos x e y como constantes:
partial r1partial z =0, partial r2partial z =2z,x^2,y^2, partial r3partial z =x,y,e^xyz
Logo,
partialvec rpartial z =l(0,;2z,x^2,y^2,;x y,e^xyzr)

Resposta

partialvec rpartial x =l(0,;2x,y^2,z^2,;y z,e^xyzr),
partialvec rpartial y =l(tfrac12raizy,;2y,x^2,z^2,;x z,e^xyzr),
partialvec rpartial z =l(0,;2z,x^2,y^2,;x y,e^xyzr)

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