Determine o vetor normal unitário mathbfN(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
N(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
mathbfr(t)=a sin (omega t) i+a cos (omega t) k

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário N(t) a partir da definição
N(t)=dfracdwidehatTdtl|dfracdwidehatTdtr|,
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário à curva r(t)=asin(omega t),i+acos(omega t),k. Vamos precisar encontrar a derivada r'(t), o módulo dessa derivada para obter widehatT(t), depois derivar widehatT(t) e normalizar.

Passo 2

Calculemos a velocidade e sua norma:
r'(t)=ddtl[asin(omega t),i+acos(omega t),kr] = aomegacos(omega t),i-aomegasin(omega t),k
O módulo é
|r'(t)|=aomegaraizcos^2(omega t)+sin^2(omega t)=aomega

Passo 3

O vetor tangente unitário é
widehatT(t)=r'(t)|r'(t)| =aomegacos(omega t),i-aomegasin(omega t),kaomega =cos(omega t),i-sin(omega t),k

Passo 4

Derivamos widehatT(t) em relação a t:
dwidehatTdt =-omegasin(omega t),i-omegacos(omega t),k =-omegal[sin(omega t),i+cos(omega t),kr]

Passo 5

O módulo de dfracdwidehatTdt é
l|dwidehatTdtr| =omegaraizsin^2(omega t)+cos^2(omega t)=omega
Logo, o vetor normal unitário fica
N(t) =dfracdwidehatTdtl|dfracdwidehatTdtr| =-omegal[sin(omega t),i+cos(omega t),kr]omega =-sin(omega t),i-cos(omega t),k

Resposta

N(t)=-sin(omega t),i-cos(omega t),k

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