Resolva o Problema de Valor Inicial:
y^prime prime+9 y=0 ; y(0)=-2 ; y^prime(0)=-12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + 9y = 0
com condições iniciais
y(0) = -2, y'(0) = -12
O conteúdo aqui é equações diferenciais de coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a
y'' + 9y = 0
que é
r^2 + 9 = 0
As raízes são
r = pm 3i
Portanto a solução geral é da forma
y(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t),
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Calculamos a derivada
y'(t) = -3C1sin(3t) + 3C2cos(3t)
Aplicando t=0 em y(t) e y'(t):
y(0) = C1 = -2,
y'(0) = 3C2 = -12 ;Longrightarrow; C2 = -4
Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular.

Resposta

y(t) = -2cos(3t) ;-; 4sin(3t)

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