As funções trigonométricas não são inversíveis, porque não são bijetoras. No entanto, podemos falar em funções trigonométricas inversas se fizermos alguns restrições aos domínios e aos contradomínios dessas funções trigonométricas. Defina as funções:
arco-tangente
Passo 1
O enunciado nos lembra que, para definir uma inversa de uma função trigonométrica, precisamos restringir seu domínio para torná-la bijetora. Aqui vamos fazer isso para a função tangente e, em seguida, definir sua inversa, a arco-tangente.
Passo 2
A função tangente
é descontínua e periódica, logo não é injetora no seu domínio todo. Mas se restringirmos o domínio ao intervalo principal
então é contínua, estritamente crescente e cobre todo . Assim essa restrição
é bijetora.
Passo 3
Como tanl|(-pi/2,pi/2) é bijetora, podemos definir sua inversa
arctancolon R;longrightarrow;(-tfracpi2,tfracpi2)
de modo que, para cada xinR,
y = arctan(x) Long<=ftrightarrow tan(y) = x e -tfracpi2<y<tfracpi2
Passo 4
Em resumo, arctan(x) retorna o único ângulo y no intervalo l(-tfracpi2,tfracpi2r) que satisfaz tan(y)=x. As propriedades principais são
tanl(arctan(x)r)=x para todo xinR,
arctanl(tan(y)r)=y para todo yinl(-tfracpi2,tfracpi2r)
Resposta
arctancolon Rtol(-tfracpi2,tfracpi2r) definido por
arctan(x)=y Long<=ftrightarrow tan(y)=x e -tfracpi2<y<tfracpi2