As funções trigonométricas não são inversíveis, porque não são bijetoras. No entanto, podemos falar em funções trigonométricas inversas se fizermos alguns restrições aos domínios e aos contradomínios dessas funções trigonométricas. Defina as funções:
arco-tangente

Passo 1

O enunciado nos lembra que, para definir uma inversa de uma função trigonométrica, precisamos restringir seu domínio para torná-la bijetora. Aqui vamos fazer isso para a função tangente e, em seguida, definir sua inversa, a arco-tangente.

Passo 2

A função tangente
tancolon Rsetminusltfracpi2+kpimid kinZr;longrightarrow;R
é descontínua e periódica, logo não é injetora no seu domínio todo. Mas se restringirmos o domínio ao intervalo principal
l(-tfracpi2,tfracpi2r),
então tan é contínua, estritamente crescente e cobre todo R. Assim essa restrição
tanl|(-pi/2,pi/2)colon(-tfracpi2,tfracpi2)toR
é bijetora.

Passo 3

Como tanl|(-pi/2,pi/2) é bijetora, podemos definir sua inversa
arctancolon R;longrightarrow;(-tfracpi2,tfracpi2)
de modo que, para cada xinR,
y = arctan(x) Long<=ftrightarrow tan(y) = x e -tfracpi2<y<tfracpi2

Passo 4

Em resumo, arctan(x) retorna o único ângulo y no intervalo l(-tfracpi2,tfracpi2r) que satisfaz tan(y)=x. As propriedades principais são
tanl(arctan(x)r)=x para todo xinR,
arctanl(tan(y)r)=y para todo yinl(-tfracpi2,tfracpi2r)

Resposta

arctancolon Rtol(-tfracpi2,tfracpi2r) definido por
arctan(x)=y Long<=ftrightarrow tan(y)=x e -tfracpi2<y<tfracpi2

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