Determine o vetor normal unitário N(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
N(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
r(t)=a sin (omega t) i+a cos (omega t) k

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
r(t)=asin(omega t),i+acos(omega t),k
e pede o vetor normal unitário N(t) usando
N(t)=dwidehatT/dt|dwidehatT/dt|,
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário. Para isso, vamos seguir estes passos: calcular r'(t), obter widehatT(t), depois dwidehatT/dt e por fim normalizar.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada
r'(t)=ddtl(asin(omega t)r)i+ddtl(acos(omega t)r)k =aomegacos(omega t),i-aomegasin(omega t),k
O módulo da velocidade é
|r'(t)|=a|omega|
Logo o vetor tangente unitário é
widehatT(t) =r'(t)|r'(t)| =aomegacos(omega t),i-aomegasin(omega t),ka|omega| =cos(omega t),i-sin(omega t),k,
admitindo omega>0.

Passo 3

Agora derivamos widehatT(t):
dwidehatTdt =-omegasin(omega t),i-omegacos(omega t),k
O módulo desse vetor é
|dwidehatTdt| =omegaraizsin^2(omega t)+cos^2(omega t) =omega

Passo 4

Finalmente, o vetor normal unitário é
N(t) =dfracdwidehatTdt|dfracdwidehatTdt| =-omegasin(omega t),i-omegacos(omega t),komega =-sin(omega t),i-cos(omega t),k

Resposta

N(t)=-sin(omega t),i-cos(omega t),k

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