Considere a função f dada por f(x)=e^-x^2.
a) Determine o domínio da função f e sua interseção com o eixo y;
b) Encontre, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de f;
c) Determine a primeira derivada de f e seus pontos críticos.
d) Determine os intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente e encontre, usando o teste da derivada primeira, os extremos relativos e absolutos, caso existam, de f;
e) Determine a segunda derivada de f e encontre os pontos no domínio de f onde f^prime prime(x)=0 ou f^prime prime(x) não exista;
f) Determine os intervalos onde o gráfico da função possui concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo e determine, caso existam, os pontos de inflexão de f;
g) Esboce o gráfico da função f;
h) Repita este processo para as funções
f(x) & =x^2 e^-x f(x) & =x^4-4 x^3 f(x) & =e^1 / x f(x) & =x^2+3x-1 f(x) & =x^2x+1 f(x) & =(2 x-1)^2(x-3)^3 f(x) & =e^x-e^-x f(x) & =41+e^-x

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=e^-x^2
seguindo o roteiro:
a) domínio e intercepto com o eixo y;
b) assíntotas verticais e horizontais;
c) primeira derivada e pontos críticos;
d) monotonia e extremos relativos/absolutos;
e) segunda derivada e pontos onde ela se anula ou não existe;
f) concavidade e pontos de inflexão;
g) esboço do gráfico.

Passo 2

a) Domínio e intercepto com o eixo y.
A expressão e^-x^2 está definida para todo xinR, pois o expoente -x^2 é sempre bem‐definido.
Logo,
Dom(f)=(-infty,infty)
O intercepto com o eixo y ocorre em x=0, dando
f(0)=e^0=1

Passo 3

b) Assíntotas.
Não há assíntotas verticais, pois não existem pontos onde f esteja indefinida.
Para assíntotas horizontais, calcule
limxtopminftye^-x^2=0
Portanto, há assíntota horizontal
y=0

Passo 4

c) Primeira derivada e pontos críticos.
Usando regra da cadeia,
f'(x)=ddxl(e^-x^2r) =e^-x^2cdot(-2x) =-2x,e^-x^2
Pontos críticos são aqueles em que f'(x)=0 ou não existe. Aqui f'(x) existe sempre e
f'(x)=0iff -2x,e^-x^2=0iff x=0

Passo 5

d) Monotonia e extremos.
Como e^-x^2>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o sinal de -2x:
  • Para x<0, temos -2x>0, logo f'(x)>0: f é crescente em (-infty,0).
  • Para x>0, temos -2x<0, logo f'(x)<0: f é decrescente em (0,infty).
Em x=0 ocorre troca de crescente para decrescente, configurando um máximo relativo (e, neste caso, absoluto) em
f(0)=1

Passo 6

e) Segunda derivada e pontos onde ela se anula.
Derivando de novo,
f''(x) =ddxl(-2x,e^-x^2r) =-2,e^-x^2+(-2x)cdot(-2x),e^-x^2 =e^-x^2l(-2+4x^2r)
Isto é,
f''(x)=2,e^-x^2,(2x^2-1)
Como e^-x^2>0 sempre, f''(x)=0iff 2x^2-1=0iff x=pm1raiz2. Não há pontos onde f'' deixe de existir.

Passo 7

f) Concavidade e pontos de inflexão.
  • f''(x)>0 (concavidade para cima) quando 2x^2-1>0iff |x|>tfrac1raiz2.
  • f''(x)<0 (concavidade para baixo) quando |x|<tfrac1raiz2.
Logo, os pontos de inflexão são
x=-1raiz2 e x=+1raiz2

Passo 8

g) Esboço do gráfico.
O gráfico é o clássico “sino” simétrico em torno de y–eixo, com máximo f(0)=1, assíntota horizontal y=0, inflexões em x=pm1/raiz2 e decresce suavemente para zero nas duas pontas.

Resposta

a) Dom(f)=(-infty,infty), intercepto em (0,1).
b) Sem assíntotas verticais; assíntota horizontal y=0.
c) f'(x)=-2x,e^-x^2, crítico em x=0.
d) Crescente em (-infty,0), decrescente em (0,infty); máximo absoluto em x=0 com valor 1.
e) f''(x)=2,e^-x^2,(2x^2-1), zera em x=pm1/raiz2.
f) Côncava para baixo em l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r), para cima em (-infty,-tfrac1raiz2)cup(tfrac1raiz2,infty); pontos de inflexão em x=pm1/raiz2.
g) “Sino” centrado em zero, máximo 1, decaindo para 0.
Para as demais funções do item h) deve‐se repetir este mesmo roteiro: determinar domínio, assíntotas, derivadas, pontos críticos, monotonia, extremos, concavidade, inflexões e esboçar o gráfico.

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