Considere a função
dada por
.
a) Determine o domínio da função
e sua interseção com o eixo
;
b) Encontre, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de
;
c) Determine a primeira derivada de
e seus pontos críticos.
d) Determine os intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente e encontre, usando o teste da derivada primeira, os extremos relativos e absolutos, caso existam, de
;
e) Determine a segunda derivada de
e encontre os pontos no domínio de
onde
ou
não exista;
f) Determine os intervalos onde o gráfico da função possui concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo e determine, caso existam, os pontos de inflexão de
;
g) Esboce o gráfico da função
;
h) Repita este processo para as funções
a) Determine o domínio da função
b) Encontre, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais de
c) Determine a primeira derivada de
d) Determine os intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente e encontre, usando o teste da derivada primeira, os extremos relativos e absolutos, caso existam, de
e) Determine a segunda derivada de
f) Determine os intervalos onde o gráfico da função possui concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo e determine, caso existam, os pontos de inflexão de
g) Esboce o gráfico da função
h) Repita este processo para as funções
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
seguindo o roteiro:
a) domínio e intercepto com o eixo ;
b) assíntotas verticais e horizontais;
c) primeira derivada e pontos críticos;
d) monotonia e extremos relativos/absolutos;
e) segunda derivada e pontos onde ela se anula ou não existe;
f) concavidade e pontos de inflexão;
g) esboço do gráfico.
a) domínio e intercepto com o eixo
b) assíntotas verticais e horizontais;
c) primeira derivada e pontos críticos;
d) monotonia e extremos relativos/absolutos;
e) segunda derivada e pontos onde ela se anula ou não existe;
f) concavidade e pontos de inflexão;
g) esboço do gráfico.
Passo 2
a) Domínio e intercepto com o eixo
.
A expressão está definida para todo
, pois o expoente
é sempre bem‐definido.
Logo,
A expressão
Logo,
O intercepto com o eixo
ocorre em
, dando
Passo 3
b) Assíntotas.
Não há assíntotas verticais, pois não existem pontos onde esteja indefinida.
Para assíntotas horizontais, calcule
Não há assíntotas verticais, pois não existem pontos onde
Para assíntotas horizontais, calcule
Portanto, há assíntota horizontal
Passo 4
c) Primeira derivada e pontos críticos.
Usando regra da cadeia,
Usando regra da cadeia,
Pontos críticos são aqueles em que
ou não existe. Aqui
existe sempre e
Passo 5
d) Monotonia e extremos.
Como para todo
, o sinal de
é o sinal de
:
Como
- Para
, temos , logo : é crescente em . - Para
, temos , logo : é decrescente em .
Em
ocorre troca de crescente para decrescente, configurando um máximo relativo (e, neste caso, absoluto) em
Passo 6
e) Segunda derivada e pontos onde ela se anula.
Derivando de novo,
Derivando de novo,
Isto é,
Como
sempre,
. Não há pontos onde
deixe de existir.
Passo 7
f) Concavidade e pontos de inflexão.
-
(concavidade para cima) quando . -
(concavidade para baixo) quando .
Logo, os pontos de inflexão são
Passo 8
g) Esboço do gráfico.
O gráfico é o clássico “sino” simétrico em torno de –eixo, com máximo
, assíntota horizontal
, inflexões em
e decresce suavemente para zero nas duas pontas.
O gráfico é o clássico “sino” simétrico em torno de
Resposta
a)
, intercepto em
.
b) Sem assíntotas verticais; assíntota horizontal .
c) , crítico em
.
d) Crescente em , decrescente em
; máximo absoluto em
com valor
.
e) , zera em
.
f) Côncava para baixo em , para cima em
; pontos de inflexão em
.
g) “Sino” centrado em zero, máximo , decaindo para
.
b) Sem assíntotas verticais; assíntota horizontal
c)
d) Crescente em
e)
f) Côncava para baixo em
g) “Sino” centrado em zero, máximo
Para as demais funções do item h) deve‐se repetir este mesmo roteiro: determinar domínio, assíntotas, derivadas, pontos críticos, monotonia, extremos, concavidade, inflexões e esboçar o gráfico.