Determine o vetor tangente unitário mathbfT(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir:
r(t)=a sin (omega t) i+a cos (omega t) k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor tangente unitário T(t) da curva vetorial
r(t)=asin(omega t),i+acos(omega t),k.
O conteúdo envolvido é derivada de funções vetoriais e normalização de vetores: basta obter r'(t) e dividi-lo pelo seu módulo.

Passo 2

Calculamos a derivada de r(t) componente a componente. Como ddtl(asin(omega t)r)=aomegacos(omega t) e ddtl(acos(omega t)r)=-aomegasin(omega t), temos
r'(t)=aomegacos(omega t),i;-,aomegasin(omega t),k

Passo 3

Agora determinamos o módulo de r'(t). Note que
|r'(t)| =raizl(aomegacos(omega t)r)^2+l(-aomegasin(omega t)r)^2 =raiza^2omega^2l(cos^2(omega t)+sin^2(omega t)r) =|aomega|

Passo 4

Por definição, o vetor tangente unitário é
T(t)=r'(t)|r'(t)| =aomegacos(omega t),i-aomegasin(omega t),k|aomega|
Se assumirmos a>0 e omega>0, simplifica para
T(t)=cos(omega t),i-sin(omega t),k

Resposta

T(t)=cos(omega t),i-sin(omega t),k

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