Determine o vetor tangente unitário mathbfT(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir:
r(t)=cos t sin t i+sin ^2 t j+cos t k

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário T(t) da curva
r(t)=cos tsin t,i+sin^2 t,j+cos t,k
Para isso vamos usar dois conceitos da teoria de curvas em espaço:
  1. O vetor tangente (não normalizado) é r'(t).
  2. O vetor tangente unitário é
T(t)=r'(t)|r'(t)|

Passo 2

Calcular a derivada componente a componente usando a regra do produto:
r'(t) =l(ddt(cos tsin t),,ddt(sin^2 t),,ddt(cos t)r)
Pelo produto e pelas identidades trigonométricas,
ddt(cos tsin t)=cos^2 t-sin^2 t=cos2t, ddt(sin^2 t)=2sin tcos t=sin2t, ddt(cos t)=-sin t
Portanto
r'(t)=(cos2t,;sin2t,;-,sin t)

Passo 3

Calcular a norma de r'(t):
|r'(t)| =raiz(cos2t)^2+(sin2t)^2+(-sin t)^2 =raiz1+sin^2 t
Aqui usamos cos^2 2t+sin^2 2t=1.

Passo 4

Agora dividimos r'(t) pela sua norma:
T(t) =r'(t)|r'(t)| =(cos2t,;sin2t,;-,sin t)raiz1+sin^2 t

Resposta

T(t) =(cos2t,;sin2t,;-,sin t)raiz1+sin^2 t

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