Determine o vetor normal unitário N(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
N(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
r(t)=cos t sin t i+sin ^2 t j+cos t k

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário N(t) de uma curva dada por
r(t)=cos tsin t,i+sin^2t,j+cos t,k
em que se usa a definição
N(t)=dfracdwidehatTdtllVert dfracdwidehatTdtrrVert,
sendo widehatT(t) o vetor tangente unitário. Para isso vamos precisar de:
  1. Calcular r'(t) e sua norma lVert r'(t)rVert.
  2. Obter widehatT(t)=r'(t)/lVert r'(t)rVert.
  3. Diferenciar widehatT(t) e normalizar.

Passo 2

Calcular a derivada e a velocidade:
r'(t)=ddtl(cos tsin t,;sin^2 t,;cos tr) =(cos2t,;sin2t,;-,sin t),
pois cos2t=cos^2t-sin^2t e sin2t=2sin tcos t.
A norma é
llVert r'(t)rrVert =raizcos^2 2t+sin^2 2t+sin^2 t =raiz1+sin^2 t,

Passo 3

O vetor tangente unitário é
widehatT(t) =r'(t)lVert r'(t)rVert =1raiz1+sin^2 tllang<= cos2t,;sin2t,;-,sin trrang<=

Passo 4

Diferenciando widehatT(t) e simplificando obtemos
dwidehatTdt =1l(1+sin^2 tr)^3/2 llang<= -,(5+2sin^2 t)sin tcos t,; 2l(cos2t-sin^4 tr),; -,cos t rrang<=
Chamemos de w(t) o vetor do numerador, isto é
w(t) =llang<= -,(5+2sin^2 t)sin tcos t,; 2l(cos2t-sin^4 tr),; -,cos t rrang<=

Passo 5

Finalmente o normal unitário é
N(t) =dwidehatTdt llVert dwidehatTdtrrVert =w(t)llVert w(t)rrVert
Ou seja,
N(t) =1raiz(5+2sin^2 t)^2sin^2 tcos^2 t +4l(cos2t-sin^4 tr)^2 +cos^2 t llang<= -,(5+2sin^2 t)sin tcos t,; 2l(cos2t-sin^4 tr),; -,cos t rrang<=

Resposta

boxed N(t) =1raiz(5+2sin^2 t)^2sin^2 tcos^2 t +4l(cos2t-sin^4 tr)^2 +cos^2 t llang<= -,(5+2sin^2 t)sin tcos t,; 2l(cos2t-sin^4 tr),; -,cos t rrang<=

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