1. (Produção) Calcula-se que a produção semanal de uma fábrica é Q(x)=50 x^2+9000 x unidades, em que x é o número de operários. No momento, a fábrica possui 30 operários.
    (a) Use os métodos do cálculo para ESTIMAR qual seria a variação da produção semanal se a fábrica contratasse mais um operário;
    (b) Cálcule qual será a variação EXATA da produção se a fábrica de fato contratar mais um operário.

Passo 1

O enunciado dá a produção semanal
Q(x) = 50,x^2 + 9000,x
em que x é o número de operários. Atualmente x=30.
(a) Para estimar a variação ao contratar mais um operário, vamos usar a derivada Q'(x), pois ela dá a taxa de variação instantânea.
(b) Para obter a variação exata ao passar de 30 para 31 operários, calculamos a diferença Q(31)-Q(30).

Passo 2

Calculamos a derivada de Q(x) e avaliamos em x=30:
Q'(x) = ddxl(50,x^2 + 9000,xr) = 100,x + 9000,
logo
Q'(30) = 100cdot30 + 9000 = 3000 + 9000 = 12000
Como a variação estimada ao mudar x em De<a x=1 é aproximadamente
De<a Q approx Q'(30),De<a x = 12000cdot1 = 12000,
a produção aumenta em cerca de 12000 unidades.

Passo 3

Para a variação exata, calculamos
Q(31)-Q(30) = l(50cdot31^2 + 9000cdot31r) - l(50cdot30^2 + 9000cdot30r)
Note que
31^2-30^2 = (31-30)(31+30)=1cdot61=61,
então
Q(31)-Q(30) = 50cdot61 + 9000cdot(31-30) = 3050 + 9000 = 12050
A produção aumenta exatamente 12050 unidades.

Resposta

(a) A variação estimada é 12000 unidades.
(b) A variação exata é 12050 unidades.

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