Determine um vetor ortogonal não-nulo aos vetores \vec{u}=(1,-1,0) e \vec{v}=(1,0,1). (Resp.: (1,1,-1) )

Passo 1

O enunciado pede um vetor não-nulo ortogonal aos vetores \vec{u}=(1,-1,0) e \vec{v}=(1,0,1). Em \mathbb{R}^3, uma forma padrão de achar esse vetor é usar o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

O produto vetorial de \vec{u} por \vec{v} é dado pelo determinante
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}.

Passo 3

Expandindo esse determinante componente a componente:
\begin{cases} \text{componente em }\mathbf{i}:&(-1)\cdot1 - 0\cdot0 = -1,\\\ \text{componente em }\mathbf{j}:&-\bigl(1\cdot1 - 0\cdot1\bigr) = -1,\\\ \text{componente em }\mathbf{k}:&1\cdot0 - (-1)\cdot1 = 1. \end{cases}
Logo,
\vec{u}\times\vec{v}=(-1,\,-1,\,1).

Passo 4

Podemos multiplicar esse resultado por -1 sem perder a ortogonalidade, obtendo
(1,\,1,\,-1),
que é um vetor não-nulo ortogonal a \vec{u} e \vec{v}.

Resposta

(1,1,-1)

Exercícios relacionados