Use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiōes limitadas pelas curvas e retas a seguir.
, para
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região no primeiro quadrante limitada por
,
e
.
O conteúdo aqui é o método da casca cilíndrica, que usa fatias verticais paralelas ao eixo de rotação.
O conteúdo aqui é o método da casca cilíndrica, que usa fatias verticais paralelas ao eixo de rotação.
Passo 2
Precisamos achar onde
e
se encontram para determinar os limites em
.
Resolvendo
Resolvendo
Logo,
varia de
a
.
Para uma casca em abscissa :
– o raio até o eixo é
,
– a altura é a diferença entre a cúpula e o piso da região:
Para uma casca em abscissa
– o raio até o eixo
– a altura é a diferença entre a cúpula e o piso da região:
Passo 3
Pela fórmula da casca cilíndrica, o volume é
Passo 4
Primeiro expandimos o integrando:
Então calculamos a integral:
Portanto