Use o método da casca para determinar o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y das regiōes limitadas pelas curvas e retas a seguir.
y=x^{2}, \quad y=2-x, \quad x=0, para x \geq 0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região no primeiro quadrante limitada por \;y = x^2, \;y = 2 - x e \;x = 0.
O conteúdo aqui é o método da casca cilíndrica, que usa fatias verticais paralelas ao eixo de rotação.

Passo 2

Precisamos achar onde \;y = x^2 e \;y = 2 - x se encontram para determinar os limites em x.
Resolvendo
x^2 = 2 - x \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \\ (\text{descartamos }x=-2\text{ pois }x\ge0).
Logo, x varia de 0 a 1.
Para uma casca em abscissa x:
– o raio até o eixo y é x,
– a altura é a diferença entre a cúpula e o piso da região:
\text{altura} = (2 - x) - x^2.

Passo 3

Pela fórmula da casca cilíndrica, o volume é
V = \int_{0}^{1} 2\pi \,\bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1} x\,\bigl((2 - x) - x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Primeiro expandimos o integrando:
x\bigl((2 - x) - x^2\bigr) = 2x - x^2 - x^3.
Então calculamos a integral:
\int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^3)\,dx = \Bigl[x^2 - \tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{4}x^4\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{12}.
Portanto
V = 2\pi \cdot \frac{5}{12} = \frac{5\pi}{6}.

Resposta

\;V = \frac{5\pi}{6}.

Exercícios relacionados