Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiōes delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas. y=3 x, \quad y=0, \quad x=2
a. O eixo y
d. O eixo x
b. A reta x=4
e. A reta y=7
c. A reta x=-1
f. A reta y=-2
Passo 1
O enunciado define a região triangular
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le3x\}
e pede, via método das cascas cilíndricas, os volumes ao girar R em torno de seis retas diferentes.
Para rotação em torno de reta vertical x=a usamos cascas verticais de espessura \mathrm{d}x, raio \bigl|x-a\bigr| e altura y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=3x-0.
Para rotação em torno de reta horizontal y=b usamos cascas horizontais de espessura \mathrm{d}y, raio \bigl|y-b\bigr| e “altura” (comprimento da casca) x_{\text{right}}-x_{\text{left}}=\tfrac y3-0.
Passo 2
Rotação em torno do eixo y x=0: cascas verticais têm