Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiōes delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.
y=3 x, \quad y=0, \quad x=2
a. O eixo y
d. O eixo x
b. A reta x=4
e. A reta y=7
c. A reta x=-1
f. A reta y=-2

Passo 1

O enunciado define a região triangular
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le3x\}
e pede, via método das cascas cilíndricas, os volumes ao girar R em torno de seis retas diferentes.
  • Para rotação em torno de reta vertical x=a usamos cascas verticais de espessura \mathrm{d}x, raio \bigl|x-a\bigr| e altura y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=3x-0.
  • Para rotação em torno de reta horizontal y=b usamos cascas horizontais de espessura \mathrm{d}y, raio \bigl|y-b\bigr| e “altura” (comprimento da casca) x_{\text{right}}-x_{\text{left}}=\tfrac y3-0.

Passo 2

Rotação em torno do eixo y x=0: cascas verticais têm
r=x,\quad h=3x,\quad \mathrm{d}x
V_a=2\pi\int_{0}^{2}x\,(3x)\,\mathrm{d}x =2\pi\int_{0}^{2}3x^2\,\mathrm{d}x =2\pi\Bigl[x^3\Bigr]_{0}^{2} =2\pi\cdot8 =16\pi.

Passo 3

Rotação em torno do eixo x y=0: cascas horizontais têm
r=y,\quad h=\tfrac y3,\quad \mathrm{d}y,\quad y\in[0,6]
V_d=2\pi\int_{0}^{6}y\Bigl(\tfrac y3\Bigr)\mathrm{d}y =2\pi\int_{0}^{6}\frac{y^2}{3}\,\mathrm{d}y =2\pi\cdot\frac{1}{3}\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{0}^{6} =2\pi\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{216}{3} =48\pi.

Passo 4

Rotação em torno da reta x=4: cascas verticais têm
r=4-x,\quad h=3x,\quad \mathrm{d}x
V_b=2\pi\int_{0}^{2}(4-x)\,(3x)\,\mathrm{d}x =2\pi\int_{0}^{2}(12x-3x^2)\,\mathrm{d}x =2\pi\Bigl[6x^2 - x^3\Bigr]_{0}^{2} =2\pi(24-8) =32\pi.

Passo 5

Rotação em torno da reta x=-1: cascas verticais têm
r=x+1,\quad h=3x,\quad \mathrm{d}x
V_c=2\pi\int_{0}^{2}(x+1)\,(3x)\,\mathrm{d}x =6\pi\int_{0}^{2}(x^2 + x)\,\mathrm{d}x =6\pi\Bigl[\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =6\pi\Bigl(\tfrac{8}{3}+2\Bigr) =28\pi.

Passo 6

Rotação em torno da reta y=7: cascas horizontais têm
r=7-y,\quad h=\tfrac y3,\quad \mathrm{d}y
V_e=2\pi\int_{0}^{6}(7-y)\Bigl(\tfrac y3\Bigr)\mathrm{d}y =\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{6}(7y - y^2)\,\mathrm{d}y =\frac{2\pi}{3}\Bigl[\tfrac{7y^2}{2}-\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{0}^{6} =36\pi.

Passo 7

Rotação em torno da reta y=-2: cascas horizontais têm
r=y+2,\quad h=\tfrac y3,\quad \mathrm{d}y
V_f=2\pi\int_{0}^{6}(y+2)\Bigl(\tfrac y3\Bigr)\mathrm{d}y =\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{6}(y^2+2y)\,\mathrm{d}y =\frac{2\pi}{3}\Bigl[\tfrac{y^3}{3}+y^2\Bigr]_{0}^{6} =72\pi.

Resposta

a. V_a=16\pi
b. V_b=32\pi
c. V_c=28\pi
d. V_d=48\pi
e. V_e=36\pi
f. V_f=72\pi

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