Seja
f(x)=x^5 / 3-5 x^2 / 3
Determine:
Valores Máximos e Mínimos Locais.

Passo 1

Beleza! A gente tem a função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ e precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais dela. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, que envolve derivadas, para identificar onde a função atinge esses pontos especiais.

Passo 2

Primeiro passo é encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto e ajuda a encontrar onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde $ f’(x) = 0 $ ou onde a derivada não está definida.
Vamos igualar a derivada a zero:
x
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por $ 3x^{1/3} $ para eliminar os expoentes negativos:
f'(x) = 0
Além disso, a derivada não está definida em $ x = 0 $. Então, temos dois pontos críticos: $ x = 2 $ e $ x = 0 $.

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos.
Para $ x = 2 $:
  • Se escolhermos um valor de $ x $ um pouco menor que 2, por exemplo, $ x = 1 $, substituindo na derivada:
x = 2
  • Se escolhermos um valor um pouco maior que 2, por exemplo, $ x = 3 $:
x
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por $ x = 2 $, isso indica que $ x = 2 $ é um ponto de mínimo local.
Para $ x = 0 $:
A derivada não está definida em $ x = 0 $, então precisamos analisar o comportamento da função ao redor desse ponto.
  • Para $ x $ próximo de 0 à direita ($ x > 0 $):
x = 1
Como $ x^{-1/3} $ cresce muito rapidamente quando $ x $ aproxima-se de 0, $ f’(x) $ tende a $ -\infty $. Isso sugere que a função está diminuindo até $ x = 0 $.
  • Para $ x $ próximo de 0 à esquerda ($ x < 0 $):
Como estamos lidando com potências fracionárias ímpares no numerador, a função também está bem definida lá, e o comportamento é similar.
Portanto, $ x = 0 $ é um ponto de máximo local.

Resposta

A função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ tem um máximo local em $ x = 0 $ e um mínimo local em $ x = 2 $.

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