Uma EDO linear homogênea de ordem n é qualquer EDO que possa ser escrita na forma
an(x) y^(n)+ldots+a1(x) y^prime+a0(x) y=0
Assim sendo, verifique se as funções dos conjuntos de cada item efetivamente resolvem as respectivas EDO’s lineares homogêneas:
c) {\left{e^{t}, e^{-t}, e^{-2 t}\right}, y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
e^t,,e^-t,,e^-2t
resolvem a EDO linear homogênea de terceira ordem
y'''+2y''-y'-2y=0
O conteúdo é teste de solução por substituição direta: basta calcular derivadas e checar se o lado esquerdo fica zero.

Passo 2

Para y=e^t temos
y' = e^t, y'' = e^t, y''' = e^t
Substituindo em
y'''+2y''-y'-2y = e^t + 2e^t - e^t - 2e^t = 0
Logo e^t é solução.

Passo 3

Para y=e^-t temos
y' = -e^-t, y'' = e^-t, y''' = -e^-t
Substituindo em
y'''+2y''-y'-2y = -e^-t + 2e^-t -(-e^-t) - 2e^-t = 0
Logo e^-t é solução.

Passo 4

Para y=e^-2t temos
y' = -2e^-2t, y'' = 4e^-2t, y''' = -8e^-2t
Substituindo em
y'''+2y''-y'-2y = -8e^-2t + 2cdot4e^-2t -(-2e^-2t) - 2e^-2t = 0
Logo e^-2t é solução.

Passo 5

As três funções satisfazem a EDO e são linearmente independentes (são exponenciais com expoentes distintos), logo formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

As funções e^t,,e^-t,,e^-2t resolvem a EDO y'''+2y''-y'-2y=0.

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