Obtenha T(t) e N(t) sendo r(t)=lang<= a cdot cos (t), a cdot sen(t), c trang<=, onde a>0. Utilize T(t)=r^prime(t)|r^prime(t)| e N(t)=T^prime(t)|T^prime(t)|

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
r(t)=lang<= acos(t),,asen(t),,c,trang<=
e pede os vetores unitários tangente T(t) e normal N(t), usando
T(t)=dfracr'(t)|r'(t)| e N(t)=dfracT'(t)|T'(t)|.

Passo 2

Calculamos a derivada de r(t):
r'(t) =lang<= -asen(t),,acos(t),,crang<=

Passo 3

O módulo de r'(t) é
|r'(t)| =raiz(-asen t)^2+(acos t)^2+c^2 =raiza^2+c^2

Passo 4

O vetor unitário tangente é
T(t) =r'(t)|r'(t)| =1raiza^2+c^2,lang<= -asen(t),,acos(t),,crang<=

Passo 5

Derivamos T(t):
T'(t) =1raiza^2+c^2,lang<= -acos(t),,-asen(t),,0rang<=

Passo 6

O módulo de T'(t) é
|T'(t)| =1raiza^2+c^2,raiz(-acos t)^2+(-asen t)^2 =araiza^2+c^2
Logo o vetor unitário normal é
N(t) =T'(t)|T'(t)| =1raiza^2+c^2lang<= -acos t,,-asen t,,0rang<= araiza^2+c^2 =lang<= -cos(t),,-sen(t),,0rang<=

Resposta

T(t) =1raiza^2+c^2,lang<= -asen t,,acos t,,crang<=
N(t) =lang<= -cos t,,-sen t,,0rang<=

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