(a) Determine
vetor
se
e
. (b) Calcule o ângulo entre
e o semi-eixo OZ positivo.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte:
(a) A gente tem três vetores
,
e
,
e quer o vetor
.
(b) Depois disso, pede o ângulo entre o vetor (eixo OX positivo) e o semi-eixo OZ positivo (que é o vetor
).
Conteúdo: operação com vetores (soma e subtração de componentes) e cálculo de ângulo usando produto escalar. Vamos precisar do conceito de componente de vetor e do produto escalar pra achar ângulo.
(a) A gente tem três vetores
e
e quer o vetor
(b) Depois disso, pede o ângulo entre o vetor
Conteúdo: operação com vetores (soma e subtração de componentes) e cálculo de ângulo usando produto escalar. Vamos precisar do conceito de componente de vetor e do produto escalar pra achar ângulo.
Passo 2
Primeiro vamos montar
componente a componente.
Teoria rápida: pra somar/subtrair vetores em forma de componentes, a regra é simples:
se e
, então
.
Teoria rápida: pra somar/subtrair vetores em forma de componentes, a regra é simples:
se
Aplicando:
.
Agora somamos :
.
Em notação vetorial:
Agora somamos
Em notação vetorial:
Passo 3
Agora parte (b): ângulo entre
e
.
Teoria do ângulo com produto escalar:
Teoria do ângulo com produto escalar:
Aqui
e
. Sabemos que ambos são vetores unitários, ou seja,
.
Também conhecemos que e
são mutuamente perpendiculares, então
.
Também conhecemos que
Logo