(a) Determine o vetor r=a-b+c se a=5 i+4 j-6 k, b=-2 i+2 j+3 k e c=4 i+3 j+2 k. (b) Calcule o ângulo entre i e o semi-eixo OZ positivo.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte:
(a) A gente tem três vetores
,

e
,
e quer o vetor
.
(b) Depois disso, pede o ângulo entre o vetor (eixo OX positivo) e o semi-eixo OZ positivo (que é o vetor ).
Conteúdo: operação com vetores (soma e subtração de componentes) e cálculo de ângulo usando produto escalar. Vamos precisar do conceito de componente de vetor e do produto escalar pra achar ângulo.

Passo 2

Primeiro vamos montar r=11hat i+5hat j-7hat k componente a componente.
Teoria rápida: pra somar/subtrair vetores em forma de componentes, a regra é simples:
se e , então
.
Aplicando:
.
Agora somamos :
.
Em notação vetorial:

Passo 3

Agora parte (b): ângulo entre ucdotv=|u|;|v|costheta e 0=hat icdothat k=1cdot1cdotcostheta Rightarrowcostheta=0 Rightarrowtheta=arccos(0)=90^circ .
Teoria do ângulo com produto escalar:
Aqui e . Sabemos que ambos são vetores unitários, ou seja, .
Também conhecemos que e são mutuamente perpendiculares, então
.
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Resposta


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