Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método da eliminação de Jordan.
a) \left\{\begin{array}{c}2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4}=6.90 \\\\ -x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+x_{4}=-6.60 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10.20 \\\\ 4 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=-12.30\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4 e pede a solução pelo método de Gauss–Jordan (eliminação de Jordan). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares até a forma reduzida, de onde lemos imediatamente cada x_i.

Passo 2

Construímos a matriz aumentada e, para ter um pivô igual a 1 na primeira linha, trocamos a linha 1 pela linha 3 original. Obtemos
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10.20\\\\ -1 & 1 & -4 & 1 & -6.60\\\\ 2 & 3 & 1 & -1 & 6.90\\\\ 4 & -5 & 1 & -2 & -12.30 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos as entradas da coluna 1 abaixo do pivô em R_1 via
R_2\leftarrow R_2+R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-2R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-4R_1.
Isso leva a
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10.20\\\\ 0 & 2 & -3 & 2 & 3.60\\\\ 0 & 1 & -1 & -3 & -13.50\\\\ 0 & -9 & -3 & -6 & -53.10 \end{array}\right).

Passo 4

Para criar pivô 1 em R_2, dividimos toda a linha 2 por 2:
R_2\leftarrow \tfrac12R_2 \;\Longrightarrow\; (0\;\;1\;\;-1{,}5\;\;1\mid 1{,}80).

Passo 5

Agora eliminamos as outras entradas da coluna 2 usando R_2:
R_1\leftarrow R_1-R_2,\quad R_3\leftarrow R_3-R_2,\quad R_4\leftarrow R_4+9R_2.
O resultado é
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2{,}5 & 0 & 8{,}40\\\\ 0 & 1 & -1{,}5 & 1 & 1{,}80\\\\ 0 & 0 & 0{,}5 & -4 & -15{,}30\\\\ 0 & 0 & -16{,}5 & 3 & -36{,}90 \end{array}\right).

Passo 6

O pivô em R_3 é 0{,}5; dividimos R_3 por 0{,}5:
R_3\leftarrow \tfrac1{0{,}5}R_3 \;\Longrightarrow\; (0\;\;0\;\;1\;\;-8\mid -30{,}60).

Passo 7

Eliminamos coluna 3 nas outras linhas:
R_1\leftarrow R_1-2{,}5\,R_3,\quad R_2\leftarrow R_2+1{,}5\,R_3,\quad R_4\leftarrow R_4+16{,}5\,R_3.
Ficamos com
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 20 & 84{,}90\\\\ 0 & 1 & 0 & -11 & -44{,}10\\\\ 0 & 0 & 1 & -8 & -30{,}60\\\\ 0 & 0 & 0 & -129 & -541{,}80 \end{array}\right).

Passo 8

Dividimos R_4 por -129 para obter pivô 1:
R_4\leftarrow \tfrac1{-129}R_4 \;\Longrightarrow\; (0\;\;0\;\;0\;\;1\mid 4{,}20).

Passo 9

Finalmente eliminamos a coluna 4 em R_1,R_2,R_3 usando R_4:
R_1\leftarrow R_1-20\,R_4,\quad R_2\leftarrow R_2+11\,R_4,\quad R_3\leftarrow R_3+8\,R_4.
Chegamos à forma reduzida
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0{,}90\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2{,}10\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3{,}00\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4{,}20 \end{array}\right).

Resposta

\begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}90\\\\ 2{,}10\\\\ 3{,}00\\\\ 4{,}20 \end{pmatrix}.

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