Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método da eliminação de Jordan.
b) \left\{\begin{aligned} 4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =10 \\\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =5 \\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4} & =-1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} & =3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=10\\\ x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=5\\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3 \end{cases}
usando o método de eliminação de Jordan (Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para levá-la à forma reduzida por linhas e, a partir daí, extrair a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos a linha 1 com a linha 2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 & 10\\\\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô em (1,1) fazendo
\text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-4\,\text{R}_1,
\text{R}_3\leftarrow \text{R}_3-\text{R}_1,
\text{R}_4\leftarrow \text{R}_4-\text{R}_1. Obtém-se
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\ 0 & -5 & -10 & -15 & -10\\\\ 0 & -3 & -4 & -5 & -6\\\\ 0 & -1 & -2 & -3 & -2 \end{array}\right]

Passo 4

Para criar o pivô 1 em (2,2) dividimos a linha 2 por -5:
\text{R}_2\leftarrow \tfrac{1}{-5}\,\text{R}_2,
e em seguida eliminamos as demais entradas da coluna 2:
\text{R}_1\leftarrow \text{R}_1-2\,\text{R}_2,
\text{R}_3\leftarrow \text{R}_3+3\,\text{R}_2,
\text{R}_4\leftarrow \text{R}_4+1\,\text{R}_2. O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 5

Agora criamos o pivô 1 em (3,3) dividindo a linha 3 por 2:
\text{R}_3\leftarrow \tfrac{1}{2}\,\text{R}_3,
e eliminamos as entradas de coluna 3 em cima:
\text{R}_1\leftarrow \text{R}_1+1\,\text{R}_3,
\text{R}_2\leftarrow \text{R}_2-2\,\text{R}_3. Ficamos com
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 6

Na forma reduzida por linhas temos pivôs em x_{1},x_{2},x_{3} e a coluna de x_{4} não tem pivô, logo x_{4} é parâmetro livre. Seja
x_{4}=t,\quad t\in\mathbb{R}.
Das equações em linha:
linha 3: x_{3}+2\,x_{4}=0 x_{3}=-2t.
linha 2: x_{2}-x_{4}=2 x_{2}=2+t.
linha 1: x_{1}=1.

Resposta

A solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =(1,\,2+t,\,-2t,\,t), \quad t\in\mathbb{R},
ou, em forma vetorial,
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

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