Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro dado
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede o vetor tangente unitário
no ponto de parâmetro
.
Observação importante sobre a escrita da segunda componente: vou interpretar a expressão escrita como um produto escalar
, ou seja, como a função
, onde
é uma constante multiplicativa. Se essa interpretação estiver diferente do que o enunciado original queria, os passos abaixo mudariam apenas na derivada da segunda componente.
Portanto, os dados que usarei explicitamente são:
-
. - Ponto de interesse:
.
A tarefa: calcular.
Passo 2
Definição e plano curto (só definição, sem resolver ainda):
O vetor tangente unitário de uma curva dada por
é a normalização do vetor velocidade
. Em fórmula:
O vetor tangente unitário
Aqui
é a derivada componente a componente de
em relação a
, e
é a norma euclidiana (comprimento) desse vetor, dada por
para
.
Passo 3
Calcular
componente a componente, explicando as regras usadas.
Primeira componente:
. Usamos a regra do produto: se
, então
.
Aqui e
. Então
e
(regra da derivada da exponencial composta).
Portanto
Aqui
Portanto
Segunda componente:
. É um monômio em
; usamos a regra de potência:
.
Assim
Assim
Terceira componente:
. Derivada da exponencial é ela mesma:
Portanto o vetor velocidade é
Passo 4
Avaliar
em
.
Substituindo
:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Logo
Passo 5
Calcular a norma de
e normalizar.
Norma:
O vetor tangente unitário em
é