Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
f(t)=\left\langle t e^{-t}, 2 t g t, 2 e^{t}\right\rangle, \quad t=0

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \mathbf{f}(t)=\langle t e^{-t},\;2 t g t,\;2 e^{t}\rangle e pede o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto de parâmetro t=0.
Observação importante sobre a escrita da segunda componente: vou interpretar a expressão escrita como um produto escalar \,2\cdot g\cdot t\cdot t, ou seja, como a função \,2 g t^{2}\,, onde g é uma constante multiplicativa. Se essa interpretação estiver diferente do que o enunciado original queria, os passos abaixo mudariam apenas na derivada da segunda componente.
Portanto, os dados que usarei explicitamente são:
  • \mathbf{f}(t)=\langle t e^{-t},\;2 g t^{2},\;2 e^{t}\rangle.
  • Ponto de interesse: t=0.
    A tarefa: calcular \mathbf{T}(0).

Passo 2

Definição e plano curto (só definição, sem resolver ainda):
O vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) de uma curva dada por \mathbf{f}(t) é a normalização do vetor velocidade \mathbf{f}'(t). Em fórmula:
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{f}'(t)}{\|\mathbf{f}'(t)\|}.
Aqui \mathbf{f}'(t) é a derivada componente a componente de \mathbf{f}(t) em relação a t, e \|\mathbf{f}'(t)\| é a norma euclidiana (comprimento) desse vetor, dada por
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}
para \mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle.

Passo 3

Calcular \mathbf{f}'(t) componente a componente, explicando as regras usadas.
Primeira componente: x(t)=t e^{-t}. Usamos a regra do produto: se x(t)=u(t)v(t), então x'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Aqui u(t)=t e v(t)=e^{-t}. Então u'(t)=1 e v'(t)=-e^{-t} (regra da derivada da exponencial composta).
Portanto
\frac{d}{dt}\big(t e^{-t}\big)=1\cdot e^{-t}+t\cdot(-e^{-t})=e^{-t}-t e^{-t}.
Segunda componente: y(t)=2 g t^{2}. É um monômio em t; usamos a regra de potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.
Assim
\frac{d}{dt}\big(2 g t^{2}\big)=2 g\cdot 2 t =4 g t.
Terceira componente: z(t)=2 e^{t}. Derivada da exponencial é ela mesma:
\frac{d}{dt}\big(2 e^{t}\big)=2 e^{t}.
Portanto o vetor velocidade é
\mathbf{f}'(t)=\big\langle e^{-t}-t e^{-t},\;4 g t,\;2 e^{t}\big\rangle.

Passo 4

Avaliar \mathbf{f}'(t) em t=0.
Substituindo t=0:
  • Primeira componente: e^{0}-0\cdot e^{0}=1-0=1.
  • Segunda componente: 4 g\cdot 0=0.
  • Terceira componente: 2 e^{0}=2.
Logo
\mathbf{f}'(0)=\langle 1,\;0,\;2\rangle.

Passo 5

Calcular a norma de \mathbf{f}'(0) e normalizar.
Norma:
\|\mathbf{f}'(0)\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.
O vetor tangente unitário em t=0 é
\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{f}'(0)}{\|\mathbf{f}'(0)\|} =\frac{\langle 1,0,2\rangle}{\sqrt{5}} =\big\langle \tfrac{1}{\sqrt{5}},\;0,\;\tfrac{2}{\sqrt{5}}\big\rangle.

Resposta

\mathbf{T}(0)=\big\langle \tfrac{1}{\sqrt{5}},\;0,\;\tfrac{2}{\sqrt{5}}\big\rangle

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