Calcule
, nos seguintes casos.
é uma superfície fechada qualquer envolvendo a origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo
onde foi dada a campo vetorial
e
é uma superfície fechada qualquer que envolve a origem.
Informações explícitas e suposições que vamos usar:
Informações explícitas e suposições que vamos usar:
- O símbolo
aqui representa o fluxo total de através de , com a normal apontando para fora da região fechada por (orientação exterior), que é o caso padrão para superfícies fechadas. - O campo
é singular na origem ( ), pois a expressão explode em . - A superfície
envolve a origem (ou seja, a origem está no interior da região limitada por ). - O objetivo é achar o valor numérico do fluxo, que deverá ser independente da forma de
(se realmente for uma constante).
Passo 2
Primeiro verifiquemos o divergente de
em pontos onde
, com
. Isso será útil para usar o teorema da divergência (Gauss). Vou calcular de forma explícita e bem passo a passo.
Escrevemos
O divergente é
Use a regra do produto: para a componente em
,
Agora a regra da cadeia para
. Como
,
Logo
Fazendo o mesmo para
e
obtemos
Somando as três componentes:
Como
, isso simplifica para
para todo ponto com
. Conclusão:
em
.
(Comentário didático rápido: a regra do produto e a regra da cadeia foram usadas explicitamente; cada termo
e a derivada da potência geram cancelamentos que levam a zero. Isso mostra que o campo não tem “fontes” ou “sumidouros” exceto possivelmente na origem.)
Passo 3
Agora usamos o teorema da divergência, mas com cuidado por causa da singularidade na origem. A ideia padrão:
- Como
em toda a região entre e uma pequena esfera centrada na origem, podemos aplicar o teorema da divergência nessa região (a região é a parte do espaço entre e uma esfera de raio pequeno centrada na origem). - Considere
a esfera de raio centrada na origem, suficientemente pequena para ficar inteiramente no interior da região limitada por . - A região
entre (fronteira exterior) e (fronteira interior) é um domínio onde é suave; aplicando o teorema da divergência sobre obtemos
É importante notar o sinal: as normais externas na fronteira de
apontam para fora de
. Para
a normal externa é a normal exterior usual; para a esfera interior
a normal externa em relação a
aponta para dentro da esfera (ou seja, no sentido oposto ao raio), portanto na fórmula acima os sinais aparecem de forma natural — uma forma alternativa é escrever
; ambas refletem a orientação consistente das normais.
- Mas vimos no Passo 2 que
em . Assim o integral volumétrico do lado direito é zero, e consequentemente os fluxos nas duas fronteiras são iguais (com os sinais consistentes). Em termos simples:
Ou seja, o fluxo através de
é igual ao fluxo através de qualquer esfera centrada na origem que esteja dentro de
. Como isso vale para qualquer
pequeno, basta calcular o fluxo numa esfera simples e pronto — o valor será independente da forma de
.
(Comentário didático: essa técnica de “excisar” a singularidade e aplicar Gauss na região entre a superfície dada e uma esfera pequena é padrão para campos com singularidade pontual; ela demonstra que todo o efeito do divergente está concentrado na origem.)
Passo 4
Calculemos o fluxo através de uma esfera de raio
centrada na origem (podemos escolher qualquer
). Parametrização em coordenadas esféricas é conveniente. Num ponto da esfera temos:
- vetor posição
com , - vetor normal unitário exterior
(vetor radial unitário), - o campo em pontos da esfera:
O produto escalar
na esfera é
Agora o elemento de área na esfera de raio
é
(coordenadas esféricas usuais). Assim o fluxo pela esfera é
A área total da esfera é
. Substituindo,
Portanto o fluxo através de qualquer esfera centrada na origem é
(note que o
cancela — por isso é independente do raio).
(Comentário didático: usar coordenadas esféricas aqui simplifica porque o campo é radial e dependendo só de
. A expressão
mostra claramente por que a integração dá algo proporcional à área da esfera, que cancela o
.)
Passo 5
Juntando o resultado do Passo 3 (o fluxo através de
é igual ao fluxo através de uma esfera pequena centrada na origem) com o cálculo do Passo 4 (fluxo através de qualquer esfera centrada na origem é
), concluímos que o fluxo pedido é a constante
, independentemente da forma de
, desde que
seja fechada e envolva a origem.
Uma intuição física rápida: o campo
é exatamente o campo radial com intensidade
(como no caso do campo elétrico gerado por uma carga unitária). Pelo princípio de Gauss, o fluxo através de qualquer superfície fechada envolvendo a carga é sempre
(no sistema de unidades adotado aqui), pois todo “fluxo” sai da origem.