Calcule \iint_{S} F d S, \operatorname{com} F(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{-3}{2}}(x, y, z), nos seguintes casos.
S é uma superfície fechada qualquer envolvendo a origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo
\iint_{S} F\\ dS
onde foi dada a campo vetorial
F(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-3/2}(x,y,z),
e S é uma superfície fechada qualquer que envolve a origem.
Informações explícitas e suposições que vamos usar:
  • O símbolo \iint_{S}F\,dS aqui representa o fluxo total de F através de S, com a normal apontando para fora da região fechada por S (orientação exterior), que é o caso padrão para superfícies fechadas.
  • O campo F é singular na origem ( x=y=z=0), pois a expressão \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{-3/2} explode em 0.
  • A superfície S envolve a origem (ou seja, a origem está no interior da região limitada por S).
  • O objetivo é achar o valor numérico do fluxo, que deverá ser independente da forma de S (se realmente for uma constante).

Passo 2

Primeiro verifiquemos o divergente de F em pontos onde r\neq0, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Isso será útil para usar o teorema da divergência (Gauss). Vou calcular de forma explícita e bem passo a passo.
Escrevemos
F(x,y,z)=r^{-3}(x,y,z).
O divergente é
\operatorname{div}F=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x r^{-3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y r^{-3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z r^{-3}\bigr).
Use a regra do produto: para a componente em x,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x r^{-3}\bigr)=r^{-3}+x\frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{-3}\bigr).
Agora a regra da cadeia para \frac{\partial}{\partial x}(r^{-3}). Como r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\frac{\partial}{\partial x}(r^{-3})=\frac{d}{dr}(r^{-3})\cdot\frac{\partial r}{\partial x} =(-3)r^{-4}\cdot\frac{x}{r}=-3x r^{-5}.
Logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x r^{-3}\bigr)=r^{-3}+x(-3x r^{-5})=r^{-3}-3x^{2}r^{-5}.
Fazendo o mesmo para y e z obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y r^{-3}\bigr)=r^{-3}-3y^{2}r^{-5}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z r^{-3}\bigr)=r^{-3}-3z^{2}r^{-5}.
Somando as três componentes:
\operatorname{div}F=3r^{-3}-3(x^{2}+y^{2}+z^{2})r^{-5}.
Como x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, isso simplifica para
\operatorname{div}F=3r^{-3}-3r^{2}r^{-5}=0,
para todo ponto com r\neq0. Conclusão: \operatorname{div}F=0 em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}.
(Comentário didático rápido: a regra do produto e a regra da cadeia foram usadas explicitamente; cada termo r^{-3} e a derivada da potência geram cancelamentos que levam a zero. Isso mostra que o campo não tem “fontes” ou “sumidouros” exceto possivelmente na origem.)

Passo 3

Agora usamos o teorema da divergência, mas com cuidado por causa da singularidade na origem. A ideia padrão:
  • Como \operatorname{div}F=0 em toda a região entre S e uma pequena esfera centrada na origem, podemos aplicar o teorema da divergência nessa região (a região é a parte do espaço entre S e uma esfera de raio pequeno \varepsilon centrada na origem).
  • Considere S_{\varepsilon} a esfera de raio \varepsilon centrada na origem, suficientemente pequena para ficar inteiramente no interior da região limitada por S.
  • A região V entre S (fronteira exterior) e S_{\varepsilon} (fronteira interior) é um domínio onde F é suave; aplicando o teorema da divergência sobre V obtemos
\iint_{S}F\cdot n\,dS+\iint_{S_{\varepsilon}}F\cdot n\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}F\,dV.
É importante notar o sinal: as normais externas na fronteira de V apontam para fora de V. Para S a normal externa é a normal exterior usual; para a esfera interior S_{\varepsilon} a normal externa em relação a V aponta para dentro da esfera (ou seja, no sentido oposto ao raio), portanto na fórmula acima os sinais aparecem de forma natural — uma forma alternativa é escrever \iint_{S}F\cdot n\,dS-\iint_{S_{\varepsilon}}F\cdot n\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}F\,dV; ambas refletem a orientação consistente das normais.
  • Mas vimos no Passo 2 que \operatorname{div}F=0 em V. Assim o integral volumétrico do lado direito é zero, e consequentemente os fluxos nas duas fronteiras são iguais (com os sinais consistentes). Em termos simples:
\iint_{S}F\cdot n\,dS=\iint_{S_{\varepsilon}}F\cdot n\,dS.
Ou seja, o fluxo através de S é igual ao fluxo através de qualquer esfera centrada na origem que esteja dentro de S. Como isso vale para qualquer \varepsilon>0 pequeno, basta calcular o fluxo numa esfera simples e pronto — o valor será independente da forma de S.
(Comentário didático: essa técnica de “excisar” a singularidade e aplicar Gauss na região entre a superfície dada e uma esfera pequena é padrão para campos com singularidade pontual; ela demonstra que todo o efeito do divergente está concentrado na origem.)

Passo 4

Calculemos o fluxo através de uma esfera de raio R centrada na origem (podemos escolher qualquer R>0). Parametrização em coordenadas esféricas é conveniente. Num ponto da esfera temos:
  • vetor posição (x,y,z) com r=R,
  • vetor normal unitário exterior \displaystyle n=\frac{(x,y,z)}{R} (vetor radial unitário),
  • o campo em pontos da esfera:
F=\frac{(x,y,z)}{r^{3}}=\frac{(x,y,z)}{R^{3}}.
O produto escalar F\cdot n na esfera é
F\cdot n=\frac{(x,y,z)}{R^{3}}\cdot\frac{(x,y,z)}{R}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{R^{4}}=\frac{R^{2}}{R^{4}}=\frac{1}{R^{2}}.
Agora o elemento de área na esfera de raio R é \,dS=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi (coordenadas esféricas usuais). Assim o fluxo pela esfera é
\iint_{S_R}F\cdot n\,dS=\iint_{S_R}\frac{1}{R^{2}}\,dS=\frac{1}{R^{2}}\iint_{S_R}dS.
A área total da esfera é \iint_{S_R}dS=4\pi R^{2}. Substituindo,
\iint_{S_R}F\cdot n\,dS=\frac{1}{R^{2}}\cdot 4\pi R^{2}=4\pi.
Portanto o fluxo através de qualquer esfera centrada na origem é 4\pi (note que o R cancela — por isso é independente do raio).
(Comentário didático: usar coordenadas esféricas aqui simplifica porque o campo é radial e dependendo só de r. A expressão F\cdot n=1/R^{2} mostra claramente por que a integração dá algo proporcional à área da esfera, que cancela o R^{2}.)

Passo 5

Juntando o resultado do Passo 3 (o fluxo através de S é igual ao fluxo através de uma esfera pequena centrada na origem) com o cálculo do Passo 4 (fluxo através de qualquer esfera centrada na origem é 4\pi), concluímos que o fluxo pedido é a constante 4\pi, independentemente da forma de S, desde que S seja fechada e envolva a origem.
Uma intuição física rápida: o campo F é exatamente o campo radial com intensidade 1/r^{2} (como no caso do campo elétrico gerado por uma carga unitária). Pelo princípio de Gauss, o fluxo através de qualquer superfície fechada envolvendo a carga é sempre 4\pi (no sistema de unidades adotado aqui), pois todo “fluxo” sai da origem.

Resposta

4\pi

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