Determine o vetor tangente unitário mathbfT(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir:
mathbfr(t)=cos t sin t i+sin ^2 t j+cos t k

Passo 1

O enunciado dá a curva vetorial
r(t)=cos tsin t,i+sin^2t,j+cos t,k
e pede o vetor tangente unitário T(t). Para isso precisamos calcular a derivada r'(t) e em seguida normalizá-la dividindo por seu módulo.

Passo 2

Calculemos r'(t) componente a componente:
- Para x(t)=cos tsin t,
x'(t)=ddt(cos tsin t) =-sin tsin t+cos tcos t =cos^2t-sin^2t =cos2t
- Para y(t)=sin^2t,
y'(t)=2sin tcos t=sin2t
- Para z(t)=cos t,
z'(t)=-sin t
Logo,
r'(t)=cos2t,i+sin2t,j-sin t,k

Passo 3

Agora encontramos o módulo de r'(t):
l|r'(t)r| =raiz(cos2t)^2+(sin2t)^2+(-sin t)^2 =raiz1+sin^2t

Passo 4

Por definição,
T(t)=r'(t)|r'(t)| =1raiz1+sin^2tl(cos2t,i+sin2t,j-sin t,kr)

Resposta

T(t) =1raiz1+sin^2tl(cos2t,i+sin2t,j-sin t,kr)

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