Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(cos x y+x / y)+[1+(x / y) cos (x y)] d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(cos(xy)+xy) ;+;l(1+xycos(xy)r)dydx=0
Precisamos testar se a forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
é exata, onde
M(x,y)=cos(xy)+xy, N(x,y)=1+xycos(xy)

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
partial Mpartial y = -xsin(xy)-xy^2, partial Npartial x = -xsin(xy)+1ycos(xy)
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante em função de y. Multiplicando tudo por mu(y)=y obtemos
M^*(x,y)=ycos(xy)+x, N^*(x,y)=y + xcos(xy)

Passo 4

Verificar exatidão da nova forma:
partial M^*partial y = cos(xy)-xysin(xy), partial N^*partial x = cos(xy)-xysin(xy)
Como coincidem, a equação é exata com fator integrante mu=y.

Passo 5

Procurar função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M^*(x,y)=ycos(xy)+x
Integrando em x:
psi(x,y) =integral ycos(xy),dx + integral x,dx =sin(xy)+x^22+h(y)

Passo 6

Determinar h(y) via
partial psipartial y = xcos(xy)+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=y+xcos(xy)
Logo h'(y)=y e h(y)=y^22.

Passo 7

A solução implícita geral é
psi(x,y) =sin(xy)+x^22+y^22=C

Resposta

sin(xy)+x^2+y^22=C

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