Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
Precisamos testar se a forma diferencial
é exata, onde
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante em função de
. Multiplicando tudo por
obtemos
Passo 4
Verificar exatidão da nova forma:
Como coincidem, a equação é exata com fator integrante
.
Passo 5
Procurar função potencial
tal que
Integrando em
:
Passo 6
Determinar
via
Logo
e
.
Passo 7
A solução implícita geral é