Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
r(t)=lang<= t^2, 2 t, 1+3 t, 13 t^3+12 t^2rang<=, t=2

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor em R^4
r(t)=llang<= t^2,,2t,,1+3t,,tfrac13t^3+tfrac12t^2rrang<=
e pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto t=2.
Para isso vamos usar a definição
T(t)=r'(t)l|r'(t)r|,
isto é, primeiro achamos a derivada r'(t) (que é o vetor tangente), depois calculamos sua norma e normalizamos.

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente de r(t):
r'(t) =llang<= ddt(t^2),,ddt(2t),,ddt(1+3t),,ddtl(tfrac13t^3+tfrac12t^2r)rrang<= =llang<= 2t,,2,,3,,t^2+trrang<=

Passo 3

Agora avaliamos r'(t) em t=2:
r'(2)=llang<= 2cdot2,,2,,3,,2^2+2rrang<= =lang<= 4,,2,,3,,6rang<=

Passo 4

Calculamos a norma de r'(2):
l|r'(2)r| =raiz4^2+2^2+3^2+6^2 =raiz16+4+9+36 =raiz65

Passo 5

Por fim, normalizamos r'(2) para obter o vetor tangente unitário T(2):
T(2) =r'(2)|r'(2)| =1raiz65llang<= 4,,2,,3,,6rrang<=

Resposta

T(2)=1raiz65lang<= 4,,2,,3,,6rang<=

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