Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
Passo 1
A função dada é f(x)=x(2−x) definida em 0<x<2. A matéria envolvida é Séries de Fourier: queremos sua extensão par (só cossenos) e sua extensão ímpar (só senos) no intervalo (−2,2).
Passo 2
Para criar a extensão par definimos f_e(x)=f(x) em 0<x<2 e f_e(−x)=f_e(x). A série de Fourier em cossenos para L=2 é
com
Passo 3
Calculamos primeiro o termo médio:
logo
Para n≥1 fazemos
Passo 4
Vendo que
vale 2 se n é par e zero se n é ímpar, concluímos
Assim a série par fica
Passo 5
Para a extensão ímpar definimos f_o(x)=f(x) em 0<x<2 e f_o(−x)=−f_o(x). A série de Fourier em senos é
onde
Passo 6
Fazendo a integral obtém-se
que é zero para n par e para n=2m+1 dá
Passo 7
Logo a série ímpar é
Resposta
Expansão em extensão par (cossenos):
Expansão em extensão ímpar (senos):