Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.

Passo 1

A função dada é f(x)=x(2−x) definida em 0<x<2. A matéria envolvida é Séries de Fourier: queremos sua extensão par (só cossenos) e sua extensão ímpar (só senos) no intervalo (−2,2).

Passo 2

Para criar a extensão par definimos f_e(x)=f(x) em 0<x<2 e f_e(−x)=f_e(x). A série de Fourier em cossenos para L=2 é
fe(x)=a02+sumn=1^infty ancosl(tfracnpi x2r)
com
an=12integral-2^2fe(x)cosl(tfracnpi x2r),dx=integral0^2f(x)cosl(tfracnpi x2r),dx

Passo 3

Calculamos primeiro o termo médio:
a0=integral0^2(2x−x^2),dx=l[x^2-tfracx^33r]0^2=4-tfrac83=tfrac43,
logo a0/2=2/3.
Para n≥1 fazemos
an=integral0^2(2x−x^2)cosl(tfracnpi x2r)dx=-8l((-1)^n+1r)n^2pi^2

Passo 4

Vendo que (-1)^n+1 vale 2 se n é par e zero se n é ímpar, concluímos
a2m= -16(2m)^2pi^2=-4m^2pi^2, a2m+1=0
Assim a série par fica
fe(x)=23-4pi^2summ=1^infty1m^2,cos(mpi x)

Passo 5

Para a extensão ímpar definimos f_o(x)=f(x) em 0<x<2 e f_o(−x)=−f_o(x). A série de Fourier em senos é
fo(x)=sumn=1^infty bnsinl(tfracnpi x2r),
onde
bn=integral0^2(2x−x^2)sinl(tfracnpi x2r)dx

Passo 6

Fazendo a integral obtém-se
bn=-16l((-1)^n-1r)n^3pi^3,
que é zero para n par e para n=2m+1 dá
b2m+1=32(2m+1)^3pi^3

Passo 7

Logo a série ímpar é
fo(x)=32pi^3summ=0^infty1(2m+1)^3,sinl((2m+1)tfracpi x2r)

Resposta

Expansão em extensão par (cossenos):
fe(x)=23-4pi^2summ=1^infty1m^2cos(mpi x)
Expansão em extensão ímpar (senos):
fo(x)=32pi^3summ=0^infty1(2m+1)^3sinl((2m+1)tfracpi x2r)

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