Mostre que \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}, pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}=1+\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+x\,y+y^{2}}{x^{2}}
e pede para escrever essa expressão na forma
1+\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Para isso, vamos usar a propriedade de frações que diz
\frac{A+B+C}{D}=\frac{A}{D}+\frac{B}{D}+\frac{C}{D}.

Passo 2

Aplicando essa propriedade ao numerador x^{2}+x\,y+y^{2} sobre x^{2}, obtemos
\frac{x^{2}+x\,y+y^{2}}{x^{2}} =\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x\,y}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Agora simplificamos cada fração: \frac{x^{2}}{x^{2}}=1, \frac{x\,y}{x^{2}}=\frac{y}{x} e \frac{y^{2}}{x^{2}}=\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{2}=\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Portanto,
\frac{dy}{dx} =1+\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =1+\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}.

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