Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t=0 para a função vetorial
r(t)=cos (t) i+3 t j+2 sen(2 t) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário T(t) no ponto onde t=0 para a função vetorial dada. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde trabalhamos com vetores que descrevem trajetórias no espaço. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função vetorial e depois normalizar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor tangente. O vetor tangente em um ponto da curva é basicamente a direção em que a curva está seguindo naquele ponto. Para encontrar esse vetor, a gente deriva a função vetorial r(t) em relação a t. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a direção e a velocidade da trajetória.

Passo 3

Vamos derivar a função vetorial r(t):
r(t) = cos(t) i + 3t j + 2 sin(2t) k
Derivando cada componente em relação a t:
r,'(t) = -sin(t) i + 3 j + 4 cos(2t) k

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto t=0:
r,'(0) = -sin(0) i + 3 j + 4 cos(0) k
Sabemos que sin(0) = 0 e cos(0) = 1, então:
r,'(0) = 0 i + 3 j + 4 k

Passo 5

Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar r,'(0). Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude (ou comprimento). Primeiro, vamos calcular a magnitude de r,'(0):
|r,'(0)| = raiz0^2 + 3^2 + 4^2 = raiz0 + 9 + 16 = raiz25 = 5
Agora, dividimos cada componente de r,'(0) pela magnitude:
T(0) = r,'(0)|r,'(0)| = 05 i + 35 j + 45 k

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto t=0 é:
T(0) = 0, i + dfrac35, j + dfrac45, k

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