Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro
para a função vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário
no ponto onde
para a função vetorial dada. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde trabalhamos com vetores que descrevem trajetórias no espaço. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função vetorial e depois normalizar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor tangente. O vetor tangente em um ponto da curva é basicamente a direção em que a curva está seguindo naquele ponto. Para encontrar esse vetor, a gente deriva a função vetorial
em relação a
. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a direção e a velocidade da trajetória.
Passo 3
Vamos derivar a função vetorial
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos normalizar
. Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude (ou comprimento). Primeiro, vamos calcular a magnitude de
:
Agora, dividimos cada componente de
pela magnitude:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é: