Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^prime=(7+1)-y, y(0)=7+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de primeira ordem y' = (7+1) - y com condição inicial y(0)=7+2. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem e vamos precisar usar o fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de uma EDO linear: y' + y = 8 Aqui o termo que multiplica y é 1 e o termo independente é 8.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), que é dado por , temos: mu(x) = e^integral 1,dx = e^x Mu

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x: y e^x = integral8e^x,dx = 8e^x + C, onde C é constante de integração. Em seguida isolamos y: y(x) = 8 + Ce^-x

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=9 (pois 7+2=9). Substituindo em y(x)=8 + Ce^-x quando x=0, obtemos 9 = 8 + C, logo (C=1. Assim o PVI tem solução particular finalizada.

Passo 6

Assim, a solução do PVI é dada por y(x)=8+e^-x.

Resposta

y(x) = 8 + e^-x

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