Os seguintes limites levam a uma indeterminação quando utilizada a substituição direta. Indique o tipo de indeterminação e use algum artifício matemático para avaliar os limites. Se o limite não existir, indique se ele pode ser expresso como
ou
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma fração envolvendo exponenciais quando $ y $ se aproxima de 0. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especialmente lidando com formas indeterminadas. Para resolver isso, precisamos identificar o tipo de indeterminação e usar uma técnica matemática adequada, como a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, tentamos substituir diretamente $ y = 0 $ na expressão para ver o que acontece:
Isso nos mostra que o limite resulta em uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação $ \frac{0}{0} $, podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se o limite de $ \frac{f(y)}{g(y)} $ dá $ \frac{0}{0} $, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador $ e^{3y} - e^{y} $:
Derivada do denominador $ e^{y} - 1 $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo no limite:
Substituindo $ y = 0 $:
Resposta
O limite é igual a $ 2 $.