Sejam x, y e z vetores do \mathbb{R}^{n}.
a) Prove a desigualdade triangular: \|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|.
b) Em quais situações vale a igualdade na desiguldade triangular?
c) Prove que |\|x\|-\|y\|| \leq\|x-y\|.
Passo 1
O enunciado dá vetores x,y,z\in\mathbb{R}^n (usaremos a norma euclidiana padrão). As perguntas são três:
(a) Mostrar a desigualdade triangular
\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|.
(b) Descrever quando ocorre igualdade na desigualdade triangular acima.
(c) Mostrar que
\bigl|\|x\|-\|y\|\bigr| \le \|x-y\|.
Dados que vamos usar frequentemente:
Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^n: \langle u,v\rangle = u\cdot v = \sum_{i=1}^n u_i v_i.
Norma euclidiana: \|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}.
Vou precisar de uma ferramenta fundamental: a desigualdade de Cauchy–Schwarz (mostrarei e usarei).
Passo 2
Prova da desigualdade de Cauchy–Schwarz (ferramenta necessária).
Queremos mostrar
\langle x,y\rangle^2 \le \|x\|^2\,\|y\|^2.
Considere, para t\in\mathbb{R}, a quantidade \|x - t y\|^2. Como norma ao quadrado é sempre não negativa,
0 \le \|x - t y\|^2 = \langle x - t y,\,x - t y\rangle.
Isto é um polinômio quadrático em t que é sempre \ge 0. Para um quadrático at^2+bt+c ser não negativo para todo t precisamos que seu discriminante seja \le 0. Aqui a=\|y\|^2, b=-2\langle x,y\rangle, c=\|x\|^2. O discriminante é
Logo \langle x,y\rangle^2 \le \|x\|^2\|y\|^2, que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Observação: se \|y\|=0 a desigualdade é trivial (ambos lados são zero); a prova acima é válida em todos os casos.
Passo 3
Prova da desigualdade triangular (parte a).
Começo avaliando o quadrado da norma do somatório:
Tirando raiz quadrada (ambos membros são não negativos), obtemos
\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|.
Pronto — essa é a desigualdade triangular para a norma euclidiana. Comentário pedagógico: elevar ao quadrado e usar Cauchy–Schwarz é a forma padrão e limpa de provar a desigualdade triangular na norma derivada do produto interno.
Passo 4
Quando ocorre igualdade na desigualdade triangular? (parte b)
Na demonstração vimos que a desigualdade
\|x+y\|^2 \le (\|x\|+\|y\|)^2
segue de \langle x,y\rangle \le \|x\|\|y\|. Portanto, para termos igualdade final precisamos que haja igualdade em Cauchy–Schwarz, isto é,
\langle x,y\rangle = \|x\|\,\|y\|.
Conhecimento sobre Cauchy–Schwarz: em \mathbb{R}^n (caso real) a igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre se, e somente se, os vetores x e y são linearmente dependentes: existe \alpha\in\mathbb{R} tal que x=\alpha y. Substituindo x=\alpha y em \langle x,y\rangle = \|x\|\|y\| dá
\alpha\|y\|^2 = |\alpha|\|y\|^2,
logo \alpha = |\alpha|, o que implica \alpha\ge 0. Assim a igualdade na desigualdade triangular ocorre exatamente quando:
x e y são múltiplos um do outro com fator escalar não negativo, isto é, existe \alpha\ge 0 tal que x=\alpha y; ou equivalentemente
os vetores x e y têm a mesma direção (apontam para o mesmo lado) — incluindo os casos triviais em que x=0 ou y=0.
Exemplo concreto: se x=(2,0) e y=(3,0) em \mathbb{R}^2, então x e y são positivos mútuos escalares e \|x+y\|=\|x\|+\|y\|. Se x tivesse sinal oposto de y (por exemplo x=(2,0), y=(-1,0)) então não há igualdade (a menos que um seja zero).
Passo 5
Prova da desigualdade triangular reversa/da diferença (parte c).
Usamos a desigualdade triangular já provada. Observe que
x = (x-y) + y,
portanto aplicando a desigualdade triangular temos
\|x\| = \|(x-y)+y\| \le \|x-y\| + \|y\|.
Rearranjando,
\|x\| - \|y\| \le \|x-y\|.
Troque x por y (ou simplesmente aplique o mesmo raciocínio com papéis trocados) para obter
\|y\| - \|x\| \le \|y-x\| = \|x-y\|.
Juntando as duas desigualdades obtemos
-\|x-y\| \le \|x\| - \|y\| \le \|x-y\|.
Isto é exatamente
\bigl|\|x\|-\|y\|\bigr| \le \|x-y\|.
Comentário: essa é uma consequência direta e muito útil da desigualdade triangular; ela diz que a norma é uma função Lipschitz de constante 1 em \mathbb{R}^n.
Resposta
\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|
A igualdade ocorre exatamente quando existe \alpha\ge 0 tal que x=\alpha y (incluindo x=0 ou y=0). \bigl|\|x\|-\|y\|\bigr| \le \|x-y\|