- Determine um vetor unitário que seja normal à curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
e pede um vetor unitário que seja normal à curva no ponto
.
Informações relevantes:
- A curva satisfaz
. - O ponto onde queremos a normal é
. - Pergunta: encontrar um vetor unitário normal à curva nesse ponto (ou seja, um vetor de comprimento
perpendicular à tangente da curva em ).
Passo 2
Ideia-chave (explicada devagar): para uma curva dada por uma igualdade do tipo
, o gradiente de
é perpendicular (normal) à curva. Vou mostrar por que de forma simples.
Se
é uma função e
é uma parametrização da curva de nível
, então
para todo
. Derivando em
obtemos
A igualdade a zero significa que o vetor gradiente
é ortogonal ao vetor tangente
. Portanto
é um vetor normal à curva de nível.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: defino
Calculo as derivadas parciais (que compõem o gradiente):
Logo o gradiente é
Passo 4
Avalio o gradiente no ponto dado
:
Esse é um vetor normal à curva no ponto, mas ainda não é unitário (não tem comprimento
).
Passo 5
Agora normalizo o vetor
. Primeiro calculo sua norma (comprimento):
Para obter um vetor unitário, divido por essa norma:
Passo 6
Observação final importante: se
é um vetor normal unitário, então
também é normal unitário (aponta na direção oposta). Portanto existem dois vetores unitários normais naquele ponto, que são opostos entre si.