1. Determine um vetor unitário que seja normal à curva x^{2}-y^{2}=3 no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por x^{2}-y^{2}=3 e pede um vetor unitário que seja normal à curva no ponto (2,1).
Informações relevantes:
  • A curva satisfaz x^{2}-y^{2}=3.
  • O ponto onde queremos a normal é (2,1).
  • Pergunta: encontrar um vetor unitário normal à curva nesse ponto (ou seja, um vetor de comprimento 1 perpendicular à tangente da curva em (2,1)).

Passo 2

Ideia-chave (explicada devagar): para uma curva dada por uma igualdade do tipo F(x,y)=\text{constante}, o gradiente de F é perpendicular (normal) à curva. Vou mostrar por que de forma simples.
Se F(x,y) é uma função e \gamma(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização da curva de nível F(x,y)=C, então F(\gamma(t))=C para todo t. Derivando em t obtemos
\frac{d}{dt}F(\gamma(t))=\nabla F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=0.
A igualdade a zero significa que o vetor gradiente \nabla F é ortogonal ao vetor tangente \gamma'(t). Portanto \nabla F é um vetor normal à curva de nível.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: defino
F(x,y)=x^{2}-y^{2}-3.
Calculo as derivadas parciais (que compõem o gradiente):
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=-2y.
Logo o gradiente é
\nabla F(x,y)=(2x,\,-2y).

Passo 4

Avalio o gradiente no ponto dado (2,1):
\nabla F(2,1)=(2\cdot 2,\,-2\cdot 1)=(4,\,-2).
Esse é um vetor normal à curva no ponto, mas ainda não é unitário (não tem comprimento 1).

Passo 5

Agora normalizo o vetor (4,-2). Primeiro calculo sua norma (comprimento):
\|(4,-2)\|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Para obter um vetor unitário, divido por essa norma:
\frac{1}{\|(4,-2)\|}(4,-2)=\left(\frac{4}{2\sqrt{5}},\,\frac{-2}{2\sqrt{5}}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\,-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Observação final importante: se \mathbf{n} é um vetor normal unitário, então -\mathbf{n} também é normal unitário (aponta na direção oposta). Portanto existem dois vetores unitários normais naquele ponto, que são opostos entre si.

Resposta

\displaystyle \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)
\displaystyle \left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}},\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)

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