Determine o vetor unitirio com mesma direglo e sentido que o vetor dado.
-3 i+7 j

Passo 1

O enunciado dá o vetor -3\mathbf{i} + 7\mathbf{j} e pede: determinar o vetor unitário que tenha a mesma direção e sentido desse vetor dado.
Informações relevantes: o vetor dado tem componentes v_x = -3 e v_y = 7. O que queremos é um vetor de comprimento 1 apontando exatamente na mesma direção e sentido do vetor dado.

Passo 2

O que é um vetor unitário e como obtê-lo (aula rápida e prática).
Um vetor unitário é um vetor com comprimento (módulo) igual a 1. Para transformar um vetor qualquer \mathbf{v} em um vetor unitário com a mesma direção e sentido, dividimos \mathbf{v} pelo seu comprimento \|\mathbf{v}\|. Assim o vetor unitário é
\widehat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Aqui \mathbf{v} é o vetor original e \|\mathbf{v}\| é o seu módulo. Dividir por \|\mathbf{v}\| preserva direção e sentido (porque \|\mathbf{v}\|>0) e ajusta o comprimento para 1.

Passo 3

Como calcular o módulo (comprimento) de um vetor no plano (fórmula e explicação).
Se \mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j}, o módulo é dado por
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}.
Aqui v_x é a componente na direção de \mathbf{i} e v_y é a componente na direção de \mathbf{j}. A fórmula vem do teorema de Pitágoras aplicando-se ao triângulo formado pelas componentes.

Passo 4

Calcular o módulo do vetor dado passo a passo.
Temos v_x = -3 e v_y = 7. Aplicando a fórmula:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}.
Portanto o comprimento do vetor é \sqrt{58}. Não precisamos aproximar com calculadora — podemos deixar em forma de raiz.

Passo 5

Aplicar a fórmula do vetor unitário e fazer as contas nos componentes.
Usando \widehat{\mathbf{v}} = \dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} temos
\widehat{\mathbf{v}} = \frac{-3\mathbf{i} + 7\mathbf{j}}{\sqrt{58}} = -\frac{3}{\sqrt{58}}\mathbf{i} + \frac{7}{\sqrt{58}}\mathbf{j}.
Cada componente foi dividida pelo mesmo escalar \sqrt{58}, o que preserva direção e sentido.

Passo 6

Verificação e dica para a prova.
Verifique mentalmente que o módulo de \widehat{\mathbf{v}} é 1: calcule \sqrt{\left(-\dfrac{3}{\sqrt{58}}\right)^2+\left(\dfrac{7}{\sqrt{58}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9+49}{58}}=\sqrt{1}=1.
Dica prática: sempre calcule primeiro o módulo com Pitágoras e depois divida cada componente por esse módulo. Isso funciona para qualquer vetor em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^n.

Resposta

-\dfrac{3}{\sqrt{58}}\mathbf{i}+\dfrac{7}{\sqrt{58}}\mathbf{j}

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