Calcule os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}+2 x-3}.
(ii) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x \cdot \operatorname{sen} x}.

Passo 1

Temos dois limites para calcular. O enunciado nos dá:
(i) \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}+2x-3}.
(ii) \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\cdot \operatorname{sen} x}.
As informações relevantes: cada expressão é uma razão que, se substituirmos diretamente x pelo ponto indicado, dá forma indeterminada 0/0. Precisamos manipular algebricamente ou usar identidades trigonométricas e limites conhecidos para remover a indeterminação e calcular os limites.

Passo 2

Começamos pela parte (i). Primeiro verifiquemos a substituição direta em \displaystyle \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}+2x-3}.
Calculando numerador em x=1:
1^{3}-1^{2}+1-1 = 1-1+1-1 = 0.
Calculando denominador em x=1:
1^{2}+2\cdot 1-3 = 1+2-3 = 0.
Portanto temos uma indeterminação do tipo 0/0. Isso indica que podemos tentar fatorar numerador e denominador e cancelar um fator comum.

Passo 3

Fatoremos o numerador por agrupamento. Escrevemos
x^{3}-x^{2}+x-1 = (x^{3}-x^{2}) + (x-1).
Colocando fator comum em cada par:
(x^{2}(x-1)) + (1\cdot(x-1)) = (x-1)(x^{2}+1).
Logo o numerador fatorado é (x-1)(x^{2}+1).

Passo 4

Fatoremos o denominador. Buscamos fatores lineares:
x^{2}+2x-3.
Procuramos dois números que multiplicam -3 e somam 2: são 3 e -1. Assim
x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1).

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original:
\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}+2x-3} = \frac{(x-1)(x^{2}+1)}{(x-1)(x+3)}.
Como estamos considerando o limite em x\to 1 (e não o valor da função exatamente em x=1), podemos cancelar o fator comum (x-1) para x\neq 1:
\frac{(x^{2}+1)}{(x+3)},\qquad x\neq 1.
Após cancelar, a função resultante é contínua em x=1, então o limite é a substituição direta nesta expressão simplificada.

Passo 6

Substituímos x=1 na expressão simplificada:
\frac{1^{2}+1}{1+3} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
Portanto o limite da parte (i) é \displaystyle \frac{1}{2}.

Passo 7

Agora a parte (ii). Verifiquemos a substituição direta em \displaystyle \frac{1-\cos x}{x\cdot \operatorname{sen} x}.
Calculando numerador em x=0:
1-\cos 0 = 1-1 = 0.
Calculando denominador em x=0:
0\cdot \operatorname{sen}0 = 0\cdot 0 = 0.
Temos novamente indeterminação 0/0. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 8

Usamos a identidade de ângulo duplo para cosseno:
\cos x = 1-2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Dessa identidade segue que
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Também sabemos que
\sin x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo essas expressões na fração:
\frac{1-\cos x}{x\cdot \operatorname{sen} x} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cdot 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.

Passo 9

Cancelamos o fator 2 e um fator \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) (para x\neq 0):
\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Reescrevemos essa expressão de modo a usar o limite conhecido \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Observe que
\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Aqui fizemos a fatoração \displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x/2}.

Passo 10

Agora aplicamos limites conhecidos quando x\to 0:
  • Coloque t=\dfrac{x}{2}. Então t\to 0 quando x\to 0, e pela propriedade clássica
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Logo \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}=1.
  • Também \displaystyle \lim_{x\to 0}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)=\cos 0=1.
Multiplicando os limites (produto de limites existe porque cada limite existe finito),
\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}.

Passo 11

Se quiser uma intuição rápida para \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1: para ângulos muito pequenos a medida em radianos satisfaz \sin t \approx t, porque no círculo unitário o arco de comprimento t e a ordenada \sin t ficam muito próximos; formalmente isso pode ser provado pelo teorema do sanduíche ou pela série de Taylor de \sin t. Essa é uma identidade básica que usamos frequentemente para limites trigonométricos.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{1}{2}
(ii) \displaystyle \frac{1}{2}

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