Calcule os seguintes limites:
(i)
.
(ii)
.
(i)
(ii)
Passo 1
Temos dois limites para calcular. O enunciado nos dá:
(i)
.
(ii)
.
As informações relevantes: cada expressão é uma razão que, se substituirmos diretamente
pelo ponto indicado, dá forma indeterminada
. Precisamos manipular algebricamente ou usar identidades trigonométricas e limites conhecidos para remover a indeterminação e calcular os limites.
Passo 2
Começamos pela parte (i). Primeiro verifiquemos a substituição direta em
.
Calculando numerador em
:
Calculando denominador em
:
Portanto temos uma indeterminação do tipo
. Isso indica que podemos tentar fatorar numerador e denominador e cancelar um fator comum.
Passo 3
Fatoremos o numerador por agrupamento. Escrevemos
Colocando fator comum em cada par:
Logo o numerador fatorado é
.
Passo 4
Fatoremos o denominador. Buscamos fatores lineares:
Procuramos dois números que multiplicam
e somam
: são
e
. Assim
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original:
Como estamos considerando o limite em
(e não o valor da função exatamente em
), podemos cancelar o fator comum
para
:
Após cancelar, a função resultante é contínua em
, então o limite é a substituição direta nesta expressão simplificada.
Passo 6
Substituímos
na expressão simplificada:
Portanto o limite da parte (i) é
.
Passo 7
Agora a parte (ii). Verifiquemos a substituição direta em
.
Calculando numerador em
:
Calculando denominador em
:
Temos novamente indeterminação
. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar.
Passo 8
Usamos a identidade de ângulo duplo para cosseno:
Dessa identidade segue que
Também sabemos que
Substituindo essas expressões na fração:
Passo 9
Cancelamos o fator
e um fator
(para
):
Reescrevemos essa expressão de modo a usar o limite conhecido
. Observe que
Aqui fizemos a fatoração
.
Passo 10
Agora aplicamos limites conhecidos quando
:
- Coloque
. Então quando , e pela propriedade clássica
Logo
.
- Também
.
Multiplicando os limites (produto de limites existe porque cada limite existe finito),
Passo 11
Se quiser uma intuição rápida para
: para ângulos muito pequenos a medida em radianos satisfaz
, porque no círculo unitário o arco de comprimento
e a ordenada
ficam muito próximos; formalmente isso pode ser provado pelo teorema do sanduíche ou pela série de Taylor de
. Essa é uma identidade básica que usamos frequentemente para limites trigonométricos.
Resposta
(i)
(ii)