Encontre o valor das seguintes integrais
\int_{0}^{1} \frac{d x}{(3 x+1)(x+2)}
pode usar que \frac{1}{(3 x+1)(x+2)}=\frac{3}{5(3 x+1)}-\frac{1}{5(x+2)}.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{d x}{(3 x+1)(x+2)}.
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar: a decomposição parcial
\frac{1}{(3 x+1)(x+2)}=\frac{3}{5(3 x+1)}-\frac{1}{5(x+2)}.
Limites de integração: x=0 até x=1. Não há outras perguntas; queremos apenas o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro reescrevo a integral usando a decomposição parcial dada. Substituindo a expressão dada no integrando, temos
\int_{0}^{1} \frac{d x}{(3 x+1)(x+2)}=\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{5(3 x+1)}-\frac{1}{5(x+2)}\right)dx.

Passo 3

Vou separar a integral em duas e tirar constantes multiplicativas para fora das integrais (propriedade linear da integral). Obtemos
\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{5(3 x+1)}-\frac{1}{5(x+2)}\right)dx=\frac{3}{5}\int_{0}^{1}\frac{dx}{3x+1}-\frac{1}{5}\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+2}.
Aqui usei que \int (a f(x)+b g(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx.

Passo 4

Agora uso a fórmula elementar de integração para funções do tipo \dfrac{1}{ax+b}. A regra é:
\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln\!\big|ax+b\big|+C,
onde a e b são constantes e C é a constante de integração. Essa fórmula vem da substituição u=ax+b, pois du=a\,dx e dx=\dfrac{du}{a}, então \int \dfrac{dx}{ax+b}=\int \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{a}=\dfrac{1}{a}\ln|u|+C.
Aplicando essa fórmula a cada integral:
  • Para \int_{0}^{1}\dfrac{dx}{3x+1} temos a=3, logo
\int_{0}^{1}\frac{dx}{3x+1}=\left.\frac{1}{3}\ln\!\big|3x+1\big|\right|_{0}^{1}.
  • Para \int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x+2} temos a=1, logo
\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+2}=\left.\ln\!\big|x+2\big|\right|_{0}^{1}.
Obs.: em nosso intervalo x\in[0,1] as expressões 3x+1 e x+2 são positivas (valores entre 1 e 4, e entre 2 e 3, respectivamente), então podemos remover as barras de valor absoluto sem problema.

Passo 5

Substituo essas primitivias na expressão com os fatores \dfrac{3}{5} e -\dfrac{1}{5}:
\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}\left.\ln(3x+1)\right|_{0}^{1}-\frac{1}{5}\left.\ln(x+2)\right|_{0}^{1}.
Simplificando \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{5}, fica
\frac{1}{5}\left.\ln(3x+1)\right|_{0}^{1}-\frac{1}{5}\left.\ln(x+2)\right|_{0}^{1}.
Posso juntar os dois termos num único log usando propriedades de logaritmo, mas primeiro avalio em x=1 e x=0.

Passo 6

Avalio os termos nos extremos:
  • Para \left.\ln(3x+1)\right|_{0}^{1} temos \ln(3\cdot 1+1)-\ln(3\cdot 0+1)=\ln(4)-\ln(1)=\ln(4)-0=\ln(4).
  • Para \left.\ln(x+2)\right|_{0}^{1} temos \ln(1+2)-\ln(0+2)=\ln(3)-\ln(2).
Portanto a expressão inteira é
\frac{1}{5}\ln(4)-\frac{1}{5}\big(\ln(3)-\ln(2)\big).
Distribuindo o -\dfrac{1}{5} e juntando termos:
\frac{1}{5}\ln(4)-\frac{1}{5}\ln(3)+\frac{1}{5}\ln(2)=\frac{1}{5}\big(\ln(4)+\ln(2)-\ln(3)\big).

Passo 7

Uso a propriedade dos logaritmos \ln(a)+\ln(b)=\ln(ab) e \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) para simplificar:
\ln(4)+\ln(2)=\ln(4\cdot 2)=\ln(8).
Logo
\frac{1}{5}\big(\ln(4)+\ln(2)-\ln(3)\big)=\frac{1}{5}\big(\ln(8)-\ln(3)\big)=\frac{1}{5}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)

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