Solucione a seguinte integral
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
Pergunta: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Escolha do método. Quero um método que transforme o polinômio multiplicado pela exponencial em algo integrável diretamente. Uma técnica clássica para produtos assim é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
onde
e
são funções escolhidas do integrando,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Vou aplicar integração por partes de forma repetida (duas vezes), porque o polinômio é de grau 2 e cada aplicação reduz o grau em 1.
Passo 3
Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Factorizando constantes:
Passo 4
Segunda aplicação de integração por partes para
. Agora escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Calculo da integral simples:
Portanto
Passo 5
Volto à expressão do Passo 3 e substituo o resultado do Passo 4:
Distribuindo
:
Posso fatorar
para ficar mais limpo:
Passo 6
Agora aplico nos limites de integração de
a
. Defino a primitiva encontrada como
Calculo
:
Calculo
(aqui usei
):
Faço as somas dentro dos parênteses com denominador comum
:
Somando:
Logo
Passo 7
Valor da integral definida é
:
Posso escrever de forma fatorada: