Solucione a seguinte integral
\int_{-1}^{0} x^{2} e^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{0} x^{2} e^{3 x}\, d x.
Informações dadas:
\text{integrando: } x^{2} e^{3x},\quad \text{limites: } x=-1 \text{ até } x=0.é
Pergunta: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Escolha do método. Quero um método que transforme o polinômio multiplicado pela exponencial em algo integrável diretamente. Uma técnica clássica para produtos assim é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\, dv = u v - \int v\, du,
onde u e dv são funções escolhidas do integrando, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. Vou aplicar integração por partes de forma repetida (duas vezes), porque o polinômio é de grau 2 e cada aplicação reduz o grau em 1.

Passo 3

Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
u = x^{2},\qquad dv = e^{3x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = u v - \int v\,du = \frac{1}{3}x^{2} e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\cdot 2x\,dx.
Factorizando constantes:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x^{2} e^{3x} - \frac{2}{3}\int x e^{3x}\,dx.

Passo 4

Segunda aplicação de integração por partes para \int x e^{3x}\,dx. Agora escolho
u = x,\qquad dv = e^{3x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \frac{1}{3}e^{3x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{3x}\,dx = u v - \int v\,du = \frac{1}{3}x e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x}\,dx.
Calculo da integral simples:
\int \frac{1}{3} e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = \frac{1}{9}e^{3x}.
Portanto
\int x e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}.

Passo 5

Volto à expressão do Passo 3 e substituo o resultado do Passo 4:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x^{2} e^{3x} - \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}\right).
Distribuindo -\frac{2}{3}:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x^{2} e^{3x} - \frac{2}{9}x e^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x} + C.
Posso fatorar e^{3x} para ficar mais limpo:
\int x^{2} e^{3x}\,dx = e^{3x}\left(\frac{1}{3}x^{2} - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}\right) + C.

Passo 6

Agora aplico nos limites de integração de -1 a 0. Defino a primitiva encontrada como
F(x) = e^{3x}\left(\frac{1}{3}x^{2} - \frac{2}{9}x + \frac{2}{27}\right).
Calculo F(0):
F(0) = e^{0}\left(\frac{1}{3}\cdot 0^{2} - \frac{2}{9}\cdot 0 + \frac{2}{27}\right) = 1\cdot\frac{2}{27} = \frac{2}{27}.
Calculo F(-1) (aqui usei x=-1):
F(-1) = e^{-3}\left(\frac{1}{3}\cdot 1 - \frac{2}{9}\cdot(-1) + \frac{2}{27}\right).
Faço as somas dentro dos parênteses com denominador comum 27:
\frac{1}{3} = \frac{9}{27},\quad -\frac{2}{9}\cdot(-1)=\frac{2}{9}=\frac{6}{27},\quad \frac{2}{27}=\frac{2}{27}.
Somando:
\frac{9}{27}+\frac{6}{27}+\frac{2}{27}=\frac{17}{27}.
Logo
F(-1)= e^{-3}\cdot\frac{17}{27}.

Passo 7

Valor da integral definida é F(0)-F(-1):
\int_{-1}^{0} x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{2}{27} - \frac{17}{27}e^{-3}.
Posso escrever de forma fatorada:
\int_{-1}^{0} x^{2} e^{3x}\,dx = \frac{2-17e^{-3}}{27}.

Resposta

\dfrac{2-17e^{-3}}{27}

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