Determine um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal aos vetores \vec{u}= (2,-1,3) e \vec{v}=(-1,-2,1).
Resp.: \vec{w}=(1 / \sqrt{3},-1 / \sqrt{3},-1 / \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário \vec w que seja ortogonal simultaneamente a \vec u=(2,-1,3) e \vec v=(-1,-2,1).
O conteúdo principal aqui é: (1) encontrar um vetor perpendicular a dois vetores em \mathbb R^3 usando o produto vetorial, e (2) normalizar esse vetor para comprimento 1.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial \vec u\times\vec v. Pela definição,
\vec u\times\vec v = \bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1\bigr).
Substituindo u_1=2, u_2=-1, u_3=3 e v_1=-1, v_2=-2, v_3=1, obtemos
\vec u\times\vec v = \bigl((-1)\cdot1 - 3\cdot(-2),\;3\cdot(-1) - 2\cdot1,\;2\cdot(-2) - (-1)\cdot(-1)\bigr) = (5,\,-5,\,-5).

Passo 3

Agora, determinamos o comprimento de \vec u\times\vec v:
\|\vec u\times\vec v\| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.

Passo 4

Para obter um vetor unitário, dividimos \vec u\times\vec v por sua norma:
\vec w = \frac{\vec u\times\vec v}{\|\vec u\times\vec v\|} = \frac{1}{5\sqrt{3}}\,(5,\,-5,\,-5) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\, -\tfrac{1}{\sqrt{3}},\, -\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Note que poderíamos escolher também o sinal oposto, mas adotamos a direção dada na resposta.

Resposta

\displaystyle \vec w=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).

Exercícios relacionados