La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es T(x, y)=20-4 x^2-y^2 donde x y y se miden en centímetros.
¿En qué dirección a partir de (2,-3) aumenta más rápido la temperatura?

Passo 1

Enunciado: Tenemos la temperatura en la placa dada por T(x,y)=20-4x^2-y^2. El objetivo es encontrar la dirección en la que T aumenta más rápido a partir del punto (2,-3). El tema clave es el gradiente de una función de dos variables, ya que este apunta en la dirección de máximo crecimiento.

Passo 2

Para hallar el gradiente de T necesitamos las derivadas parciales:
nabla T(x,y)=l(,tfracpartial Tpartial x,,tfracpartial Tpartial yr) =l(-8x,,-2yr)
Evaluamos en (2,-3):
nabla T(2,-3)=(-8cdot2,,-2cdot(-3))=(-16,6)

Passo 3

La dirección de máximo incremento es la del gradiente. Para obtener la dirección, normalizamos el vector (-16,6). Su norma es raiz(-16)^2+6^2=raiz292=2raiz73. Así, el vector unitario es
12raiz73(-16,6)=l(-8raiz73,,3raiz73r)

Resposta

La dirección en la que la temperatura aumenta más rápido en (2,-3) es el vector unitario l(-tfrac8raiz73,,tfrac3raiz73r).

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