Determine se os vetores dados u e v são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
17. u=(0,2), v=(0,3)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(0,2) e \,v=(0,3) em \mathbb{R}^2 e pede para decidir se eles são linearmente dependentes ou independentes. O conteúdo envolvido é o teste de dependência linear: em \mathbb{R}^2, dois vetores são linearmente dependentes se um for múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Recordando a definição, vetores u e v são linearmente dependentes se existir um escalar \lambda\neq0 tal que
v = \lambda\,u
ou, equivalentemente, se existir solução não-trivial de a\,u + b\,v = (0,0) com (a,b)\neq(0,0).

Passo 3

Procuramos \lambda\) em \[(0,3) = \lambda\,(0,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 0 = \lambda\cdot 0,\\\\ 3 = \lambda\cdot 2. \end{cases}
Da primeira equação temos (0=0] (sempre satisfeita) e da segunda obtemos
\lambda = \frac{3}{2}.

Passo 4

Como existe \lambda=\tfrac{3}{2} que satisfaz v=\lambda\,u, concluímos que u e v são múltiplos escalares entre si, logo são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados