Determine se os vetores dados u e v são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
19. u=(2,2), v=(2,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
u = (2,2),\quad v = (2,-2)
e pede para determinar se eles são linearmente dependentes ou independentes. O conteúdo é a definição de dependência linear em \mathbb{R}^2, que pode ser testada verificando se um vetor é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Dois vetores em \mathbb{R}^2 são linearmente dependentes se, e somente se, existe um escalar \lambda tal que
u = \lambda\,v
Caso não exista tal \lambda, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Suponha que u = \lambda v. Das primeiras componentes temos
2 = \lambda \cdot 2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{2}{2} = 1.
Para a segunda componente, isso exigiria
2 = \lambda \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) = -2,
o que é falso.

Passo 4

Como não existe escalar \lambda que satisfaça simultaneamente as duas componentes, u não é múltiplo escalar de v.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente independentes.

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