1 (1,0 pto.) Sabe-se que o vetor v é ortogonal aos vetores (1,-1,0) e (1,0,1). Além disso, |v|=3 e a segunda coordenada de v é positiva. Determine o vetor v.

Passo 1

O enunciado pede vec vin R^3 ortogonal aos vetores (1,-1,0) e (1,0,1), com norma |vec v|=3 e segunda coordenada positiva. O conteúdo usado será produto interno e norma de vetores.

Passo 2

Seja vec v=(x,y,z). A ortogonalidade a (1,-1,0) e a (1,0,1) gera
x - y = 0
e
x + z = 0
respectivamente.

Passo 3

Da primeira equação vem y=x e da segunda z=-x. Assim
vec v = (x,x,-x) = x,(1,1,-1).

Passo 4

Impondo |vec v|=3 obtemos
|vec v| = |x|raiz1^2+1^2+(-1)^2 = |x|raiz3 = 3
e portanto
|x| = 3raiz3 = raiz3
.

Passo 5

Como a segunda coordenada é positiva, temos x>0 e então x=raiz3. Logo
vec v = (raiz3,raiz3,-raiz3).

Resposta

vec v=(raiz3,raiz3,-raiz3)

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